谈谈二次函数解析式的确定

柯丽香

摘 要：函数是数学中最重要的概念之一，是中学数学的核心内容。函数思想是最重要、最基本的数学思想，它具有其他数学思想所不及的作用，它是从大量的实际问题中抽象出来的。在初中阶段，讲述了函数的一些最基本、最初步的知识，但是其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的。主要探讨初中阶段有关二次函数解析式的求法，理解二次函数解析式的意义及其三种代表形式，让“数”与“形”在解题中充分体现。

关键词：二次函数；对称性；交点间距离关系；初中数学

二次函数是初中数学的一个重要内容。在近几年中考试卷中，越来越注重二次函数，特别是确定二次函数的解析式占了绝大多数。这类题目千变万化、涉及知识面广，与初中代数的大部分内容息息相关。这就要求首先弄懂二次函数解析式的意义及其三种代表形式，掌握数学思想方法和代数中各个部分知识之间的联系，能够熟练利用函数图象，使“数”与“形”完美结合。因此，解答这类题目应善于选用解析式表达式，明确题目意义及其图象特征。以下是几种常用的确定二次函数解析式的方法，以具体例子加以阐述：

一、如何运用解析式的形式求二次函数的解析式

二次函数的解析式一般有三种形式：

①一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

②顶点式：y=a（x+）2+或y=a（x-h）2+k，其中h、k的意义是：当x=h时，函数取得极值k，（h，k）为抛物线的顶点坐标。

③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（b2-4ac≥0）其中x1，x2为图象与x轴交点的横坐标。

例1：抛物线与x轴交于A（-2，0），B（，0），与y轴交于点C（0，-1），求此抛物线的解析式。

分析：若选用解析式的一般式，则需要解一个三元一次方程组，通过分析可选用解析式的交点式，即y=a（x+2）（x-），式中a待定，又因其图象经过点（0，-1），所以a（0+2）（0-）=-1，

解得a=1，∴y=（x+2）（x-），即y=x2+x-1。

总结，当已知条件含有抛物线与x轴的两个交点坐标时，选用二次函数解析式中的交点式。

例2：已知二次函数极大值为8，且图象经过点（-2，0），（1，6），求二次函数的解析式。

分析：当已知条件中给出二次函数图象顶点坐标或极植时，通常采用顶点式，设出所求函数的解析式，这样求解较为简单。

解：由二次函数的极大值为8，可设所求二次函数的解析式为y=a（x-h）2+8（a<0），又因图象经过（-2，0），（1，6）两点，

得：a（-2-h）2+8=0

a（1-h）2+8=6 解得：h1=0

a1=-2 h2=4

a2=-

故所求的二次函数的解析式为：

y=-2（x-0）2+8或y=-（x-4）2+8

即：y=-2x2+8或y=-x2+x+

总结：已知对称轴、极值或顶点坐标时，采用顶点式较为简便。

二、利用抛物线的对称性，将其与有关知识相结合

例3：二次函数图象的对称轴x=-2，它与直线y=2x+1相切且图象在x轴上截得的线段长为2，求函数的解析式。

分析：解本题的关键在于仔细分析题意，由对称轴x=-2及图象在x轴上截得的线段长为2，可知抛物线与x轴的两个交点为（-2-，0）（-2+，0）。这样利用交点式y=a（x+2+）（x+2-），a为待定，再由抛物线与直线y=2x+1相切，可得方程a（x+2+）（x+2-）=2x+1有两个相等的实数根，利用Δ=0可以很方便地求出a的值。这样，本题的解决将会变得十分简单。

解：因为二次函数图象的对称轴x=-2，并且在x轴上截得的线段长为2，所以图象与x轴的两个交点为（-2-，0），（-2+，0）。

设二次函数的解析式为y=a（x+2+）（x+2-），a为待定，

由y=2x+1

y=a（x+2+

）（x+2-

）

得a（x+2+）（x+2-）=2x+1

整理得ax2+（4a-2）x+2a-1=0…①

因抛物线与直线y=2x+1相切，所以方程①有两个相等的实数根，Δ=（4a-2）2-4a（2a-1）=0即（2a-1）（a-1）=0

解得：a=1或a=

所求二次函数为

y=（x+2+）（x+2-）或y=（x+2+）（x+2-）

即y=x2+4x+2或y=x2+2x+1

三、利用抛物线与x轴交点间的距离，将其与有关的知识相结合

1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点间的距离公式，d=

2.抛物线y=a（x-h）2+k与x轴交点间的距离公式d=2

例4：A、B两点是二次函数y=x2-（a+2）x+2a（a>2）的图象与x轴交于相异的两个点，图象与y轴交于C，△ABC面积为3，求a的值。

解：由公式d=得：

AB==a-2=a-2（a>2）

∵点C为抛物线与y轴的交点，∴点C的坐标为（0，2a），故△ABC中AB边上的高h=2a=2a

∵S△ABC=AB·h，∴（a-2）·2a=3

即a2-2a-3=0，解得a=3或a=-1

∵a>2，∴a=-1不符合题意，舍去，只取a=3。

四、利用几何图象性质

例5：抛物线y=-3x2-2x+k与x轴的两个交点A和B（A和B不重合），M为抛物线的顶点，当△ABC为等腰直角三角形时，求k的值。

解：由公式d=得

AB==1+3k

∵a=-3<0

∴拋物线开口向下，M的纵坐标为正：

为==

即为△MAB中AB边上的高。

∵△MAB为等腰直角三角形，

∴AB=即=

∴（-1）=0又∵≠0

∴-1=0解得k=0

五、相关知识联系的应用

这种方法的应用要求学生有牢固的相关知识，并能把它们相互联系起来，做到举一反三。

例6：已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）.

（1）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；

（2）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

解：（1）当b=2，c=-3时，二次函数为：y=x2+2x-3

即y=（x+1）2-4，所以当x=-1时，二次函数的最小值为-4.

（2）当c=5时，二次函数为：y=x2+bx+5由题意得：方程x2+bx+5=1有两个相等的实数根，所以Δ=b2-16=0解得：b1=4，b2=-4，此时，二次函数的解析式为：y=x2+4x+5或y=x2-4x+5

注：不论选用哪种形式求抛物线解析式，其结果都应化为一般式。

综上所述，不论解答哪一类型题目，首先应明确题意，掌握双基知识及相关公式，并能善于选择三种解析式的表达式，把复杂问题转化为简单问题，有关函数解析式的问题就会迎刃而解。

编辑 张珍珍