浅析高中数学函数与回归方程

段秀平

摘 要：高中数学当中，函数内容占据着一定的比例，例如反比例函數、复合函数、三角函数、导数等。而函数本身可以认为是一种不同变量之间的对应关系。对函数的学习和研究是高中数学中非常重要的部分。与函数具有相同之处的回归方程，实际上也反应的是不同变量之间的关系。关于函数与回归方程，重点分析函数内容与回归方程之间的区别，为此将通过结合例题的方式具体分析回归方程的实际应用。

关键词：高中数学；函数；回归方程

简单而言，函数是一种对应关系，是从非空数集a到实数集b的对应。而回归方程则是指能够用直线方程y=bx+a近似表示的一种相关关系，回归方程的具体表现形式实则也表现为函数形式，其方程也叫线性回归方程。从函数与回归方程的性质来看，二者之间存在相同之处，也存在区别[1]。针对函数与回归方程之间的关系，以及回归方程涉及回归分析和实际应用，以下将展开具体的分析。

一、函数

在数学当中，函数表示的是对应关系。更加精准来说，当x是一个非空集合，y是非空数集，f是一个对应的法则，如果对x中的每个x，按照对应法则f，使得y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是x上的一个函数，记作y=f（x），称x为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，也可称为y是x的函数。因此，在函数当中，函数具备三个要素，即对应法则、定义域和值域。在解决不同变量之间的关系当中，函数能够以一种确定和理想的形式体现。

二、回归方程

回归方程是在一定的样本资料下，根据回归分析后，取得一个变量（因变量）对另一变量（自变量）的一种回归关系的数学表达式，即y=bx+a。其与函数关系不同，y=bx+a表示的是一种不确定性关系[2]。更具体而言，给出一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），线性回归方程中的系数a，b满足：

b=，a=y-bx。

在回归方程当中，受到变量的作用和影响，其中的相关关系可以为线性相关，也可以为非线性相关，而回归方程也能够在很大程度上反映各不同变量之间是否存在相关性。

三、回归方程中的相关关系与函数关系的异同分析

根据上述对函数以及回归方程的定义，两者存在的异同点十分明显。

首先，在相同点方面，二者均是指两个变量之间的关系。

其次，在不同点方面，函数关系指的是两个变量之间的关系，是一种确定性的关系，是一种因果关系，是一种理想的关系模型[3]。而相关关系，则是指一种非确定性关系。相关关系当中，可以其中一个为变量，另一个为随机变量，或者两个都可以为随机变量，其关系是一种更加一般的关系。

四、回归分析与回归方程

得到回归方程，实际需要以回归分析作为主要方法，该方法的基本步骤主要分为四步：（1）根据所给的数据画出散点图；（2）依据散点图求出b，a的值；（3）求回归直线方程；（4）用回归直线方程解决应用问题。在回归分析当中，由于两个变量并不对等，因此分析时需要区分出自变量与因变量。当然，在进行回归分析的过程当中，主要是依据回归方程进行。因此，针对某个实际问题，或者针对给出的某组数据，首先是在画出散点图的过程中，以及在区分自变量和因变量的基础上，判断出两个变量是否存在相关性。具体可看如下例题：

例：一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验测得数据如下：

根据以上题目，如若要预测加工200个零件需要花费多少时间，以回归分析方法进行分析，则可以通过给出的数据，画出散点图并进一步判断y与x是否存在线性相关，如果y与x存在线性相关关系，则可求出线性回归方程，最后依据方程则可预测出加工200个零件需要花费的时间。具体可制出如下图表：

依据以上表格计算出xi一行的总和，yi一行的总和，xiyi、xi2等各相应的数值。最后，根据y=bx+a求出b和a。

由以上例题可知，当给出一组数据后，画出数据散点图能够从中找出相关关系，再依据方程则可解决实际的问题。由此，回归方程具有非常重要的作用，其通过自变量的变化逐步可以推算出因变量变动的估计值，并且得出的这个估计值与实际值具有一致性，但也有可能不存在一致性，这主要是由于估计值与实际值存在的离差，有正有负，有大有小。在这种情况下，回归方程则需要有一个计算指标，该指标最好能够充分反映其中误差的大小。

综上所述，函数关系与回归方程之间存在相同点和不同点，其中回归方程涉及的回归分析，以及其中包含的最小二乘法，从数学的角度而言，对往后数据的统计分析也都有非常重要的意义。

参考文献：

[1]李嘉益.浅谈高中数学函数与回归方程[J].农家参谋，2017（13）：150.

[2]王鹏.浅谈高中数学函数与回归方程[J].读与写（教育教学刊），2011，8（8）：91.

[3]王忠民，李杨，张荣.一种基于自相关函数特征的行为识别方法[J].计算机应用研究，2018（6）：1-2.

编辑 赵飞飞