利用一题多解培养学生的发散思维

罗汝生

【摘要】数学的核心是思维，根据思维的形式，思维可以分为辐合思维和发散思维。发散思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式，它的特点是思路广阔，寻求变异，在思维方向上表现为逆向性、横向性和多向性。

【关键词】数学思维 多解 发散思维

学生在数学学习中常碰到解题一筹莫展，許多学生一旦在思维受阻时，常不知如何“转变”。在这一问题上，学生思路不开阔只是表象，而教师在教学中如何善于开拓学生思路，培养学生发散性思维却是根本。因此，中小学数学教学的过程中，在培养学生初步的逻辑思维能力的同时，有意识地培养学生的发散思维能力非常重要。数学教师在教学中不应只满足本例题的演示，完成习题解答，而应该首先开阔自己的思路，在完成例题解答的过程中，引导学生运用知识去探索“求异”的结果，培养学生发散性思维，激发学生的创造精神，以达到提高学生解题能力的目的。

一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。一题多解是指在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。它可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。

一题多解有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法。一题多解有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。

下面通过几个课堂实例谈谈如何利用一题多解的方法培养学生发散思维的能力。

一、某些代数应用题可引导学生考虑不同方法来设元

如：新人教版七年级数学上册第三章一元一次方程的应用教学中，有这样一个实际问题：

汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，求王家庄到翠湖的路程有多远？

教材意在通过一个具体的行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出方程，重点是体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养学生运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力。

1、用算术方法可以如下考虑：

汽车从青山到秀水用了15-13=2小时，青山、秀水两地相距50+70=120千米，所以车速为120÷2=60千米/时，从王家庄到秀水用了15-10=5小时，所以王家庄到秀水相距60×5=300千米，所以王家庄与翠湖相距300-70=230千米；

2、用方程的方法可以通过数形结合，从不同角度设未知数，分析数量关系，紧扣汽车匀速行驶（速度不变）找相等关系，列出一元一次方程求解。

本节问题的背景和表达贴近实际，有些条件比较隐蔽，如汽车在各路段行驶的时间，需要学生从表格中获取相应的信息，还有行程问题中的数量关系式：路程=速度×时间等。

因此，教学中可先引导学生复习行程问题中速度、时间、路程三者间的关系式，尤其是速度=路程÷时间，然后引导学生弄清题意，画出如下的线段图：

再结合生活经验，把汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间求出：

王家庄到青山的时间是13-10=3小时；

青山到秀水的时间是15-13=2小时；

王家庄到秀水的时间是15-10=5小时。

接着，结合线段图，引导学生挖掘图形中蕴含的数量关系，把位置关系与数量关系为一根主线贯穿教学的全过程，不断变换解题的方法，培养学生发散思维的能力。

解法1（教材给出的方法） 如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，如果设王家庄到翠湖是x千米，则王家庄到青山的路程是（x-50）千米，王家庄到秀水的路程是（x+70）千米，汽车的速度是 千米/时或 千米/时

根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等，于是列出方程：

解此方程直接求出王家庄到翠湖间的路程是230千米。

解法2. 如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，如果设王家庄到青山是y千米，则王家庄到秀水的路程是（y+50+70）千米，汽车的速度是 千米/时或 千米/时；

根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等，于是列出方程：

解此方程求出y，所以王家庄到翠湖的路程有（y+50）千米

二、某些几何题可引导学生巧添辅助线

如：新人教版七年级数学下册第七章三角形教学中，有这样一个例题：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

解法1（教材给出的方法）

∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，

由AD∥BE，可得∠BAD+∠ABE=180°，

所以∠ABE=180°-∠BAD=180-80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°，在△ABC中，

∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°

解法2、过点C作AD的垂线，交直线AD于点M，交BE于点N

由CM⊥AD可得， ∠AMC=90°，

由AD∥BE可得

∠BNC=180°-∠AMC

=180°-90°=90°

在△ACM中，∠ACM=180°-∠AMC-∠CAM=180-90°-50°=40°

在△BCN中，∠BCN=180°-∠BNC-∠CBN=180°-90°-40°=50°

由平角的定义可得，

∠ACB=180°-∠ACM-∠BCN =180°-40°-50°=90°

当然，还有很多种解法，这里就不一一列举了，可见，数学教学中的一题多解有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点。

以上是利用一题多解的方法培养学生发散思维的几个例子，对于这样的教学方法，还是有几个问题需要说明：

1、采用上述教学方法比较费时间，且不是每个例题都有必要和可能这样教学。教师应该在充分研究例题的基础上，有选择的适时采用，次数不宜过多。

2、不同的教师对同一例题的上述教学方法的设计可能不相同，这是正常现象。但是，任何这类教学方法的设计，都必须在充分了解学生认知水平的情况下进行。特别要掌握学生平时解题习惯采用的思路。教学时给予中肯的评价，针对学生的弱点，有意识到编排到教学中去，使学生能真正受益。

3、一道例题的各种解题思路，教学时一般不由教师提出。最好先由学生充分思考后提出方案，教师归纳各种不同意见，整理为几种有代表性的思路。有时学生提出的思路是教师事前没有想到的，这就要求教师有较高的鉴别能力，必要时还要调整原来的教学安排，以适应教学中发生的新情況。

总之，一题多解有利于学生思维能力的提高。随着科学技术的不断发展，对未来人才的要求，特别是对具有创造能力人才的要求越来越高，因此发展学生的创造能力，已经成为提高学生素质的核心内容之一，培养学生良好的发散思维习惯是提高创造能力的重要环节，“一题多解”有利于调动学生的学习积极性，在教师的启发、引导下，对一道题学生可能提出两种、三种甚至更多种解法，课堂成为同学们合作、争辩、探究、交流的场所，它能极大提高学生的学习兴趣，更能满足不同层次学生的要求。这时学生的思维已经不是简单的“发散”，进一步的“聚敛”，而且在向更高一层的“组合”发展，这已经是创新的开始。

【参考文献】

[1]新人教版九年义务教育初中数学教材（七年级下册）；

[2]《课程资源库——思维创新训练》（新疆青少年出版社、喀什维吾尔文出版社）；