概念教学：有效源于“精致”

周云霞

数学概念是构成抽象数学知识的“细胞”，是数学逻辑的起点，也是学生认知和思维的基础。学生对概念的理解并非单纯的外部作用的结果，每个人对概念的理解都是个性化的，是学生思维过程的产物，认知心理学把这一过程称为“精致”的过程。概念教学的“精致”过程，实际上就是追求对概念内涵和外延的深加工，追求对概念的主动习得和整体把握。在教学中，教师要充分利用学生已有的日常概念，不断丰富概念意象，帮助学生形成概念网络，促使学生的数学概念从模糊走向清晰，从浅显走向深刻，从朴素走向精致。

一、利用日常概念。，让概念从模糊走向清晰

学生不是一张白纸，他们不是一无所知地走进数学课堂，在日常生活中，他们建立了自己对客观世界的理解，形成了许多日常概念。这些日常概念是学生的日常生活经验在感性层次上的概括，并成为他们今后学习科学概念的出发点。我们要充分了解学生已有认知的特点，分析和改造日常概念，凸显概念本质，让模糊的日常概念逐步清晰、稳定。

1.突破已有认知，精心改造浅显的日常概念

日常概念是学生的日常生活经验在感性层次上的概括，是无意识的认知，有时学生自己也解释不清。我们要积极利用它，发挥它的实践性、浅显性、通俗性等特点，充分利用日常概念的有用成分，使学生在建立科学概念时借助经验事实，让其变得容易理解。

如学习“角”的概念之前，很多学生会把生活中立体事物中的“角（角落）”与平面图形的“角”混为一谈，为了帮助学生建立正确的“角”的概念，教师抓住学生认识上的局限性，纠正原有理解上的不足。教学时，让学生指认三角尺上的角，引出对角的模糊认识，及时纠正学生指角的方法，初步感知角：然后出示实物图片，让学生找角指角，并及时抽象角，帮助学生加深对“角”的认知：接着引导学生观察比较，找出角的相同点，认识角的顶点和边，至此帮助学生建立“角”的科学认知。课前，学生对“角”的认识是模糊的、肤浅的、非数学的，通过教师引导，学生在感知的基础上进行抽象，正确认识“角”，建立了“角”的科学概念。

2.引发观念冲突，巧妙修正错误的日常概念

日常概念，产生于学生的日常生活或其他无意识的活动中，我们在利用这些日常概念时应当谨慎地分析它的缺点和错误，设法避免、抑制或纠正，以日常概念的具体性、特殊性成分为依托，为科学概念的建构做好铺垫。

如在教学《倒数》这一课时，学生认为“倒数”是倒过来的数，如2/7的倒数是7/2，这说明学生对倒数概念的理解（倒数的概念定义）与心中实际想的倒数（倒数的日常概念）之间存在着一定的距离。为了引导学生自觉反思日常概念中存在的问题，我适时追问：“0.3与8有倒数吗？如果有的话，8的倒数是不是倒过来还是8呢？”通过对小数和整数倒数的追问，逼迫学生进行必要的反思，重构起正确、清晰的“倒数”概念。

二、丰富概念意象，让概念从朴素走向精致

概念意象，是指与所说的概念直接相联系的各种心理成分的总和，包括相应的心智图像、对其性质及相关过程的记忆等。数学概念教学，就是对概念的认识不断完善的过程，帮助学生建立数学概念的多元表征，不断建立丰富的概念意象，充实对概念的理解，使学生脑中的概念意象更加精致，实现概念意象与概念定义的整合。

1.加强学生感知，强化概念意象

学生理解和掌握概念的过程实际上就是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。为了让学生掌握同类事物的本质属性，教师要提供大量同类事物的不同例证，让学生充分感知，通过比较，进行分析、辨认，多角度感知同类事物的本质属性，强化学生的概念意象。

如在三角形的概念教学中，通过呈现不同形态（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）、不同大小、不同位置的三角形与类似三角形的图形进行比较，其中呈现不同形态、不同大小、不同位置的三角形是变化概念的非本质属性，呈现类似三角形的图形是变化概念的本质属性。让学生在对比辨析中突出“三条线段围成的图形”这一三角形的本质属性，让学生观察、分析、判断，准确理解三角形的内涵和外延，概念建立得更准确、更牢靠。

2.界定概念要素，精细概念意象

《数学教学心理学》指出：在数学学习中，概念精致的实质就是对概念的内涵与外延进行详尽的“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证。对“概念要素”进行具体界定，可以使学生对概念的细节把握更加准确，对概念的记忆产生深远影响。

如教学《认识平均分》时，本课概念涉及两个要素：“每份数”和“份数”，学生理解这两个要素时很容易混淆，为了帮助学生加深理解，教师设计了这样的教学过程：出示8个苹果的2种平均分，让学生比较不同点，引起对两个要素的关注：接着让学生伸出小手边圈边说“每份（ ）个”，边指边数“1份、2份……有（ ）份”，比画中感知两个要素：然后引导学生看图完整表述“8个苹果，每份2个，分成4份”，“8个苹果，每份4个，分成2份”。在对比情境中，学生通过比画、表述清晰地建立了“每份数”和“份数”这两个要素的表象，加深了对这两个要素的理解，使学生对“平均分”这个概念的认识也更到位。

3.建立多元表征，活化概念意象

数学概念往往有多种表征方式，如實物表征、模型表征、图形表征、语言表征、符号表征等，教师要帮助学生建立对数学概念的多元表征，充实对概念的理解，使学生头脑中的概念意象更加精致。在苏教版数学二年级《认识厘米》的教学活动中，教师也设计多种活动，让学生在活动中感知，在经历中体验，在体验中建立概念意象。

第一环节，实物表征：比较观察1厘米与1分米、1米的小棒；拿在手中单独观察1厘米的小棒。

第二环节，手势表征：游戏“变小鸟”，手指反复比画验证1厘米的长度。

第三环节。想象表征：闭上眼睛想象1厘米的长度。

第四环节，意象表征：联系生活实际，找身边的1厘米。

第五环节，符号表征：在直尺上找1厘米和几厘米。

以上环节，学生通过观察、比画、想、找等一系列表征方式，由表及里，由浅入深，学生的思维活动也随之逐步内化，多角度建立了1厘米的实际长度单位概念。

三、触及知识本质。让概念从浅显走向深刻

1.适时概念抽象，促使理性感悟

学生概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。抽象是人们在对客观事物的属性和特点进行分析、比较和综合的基础上，舍弃其非本质属性而抽取其本质属性的思维过程，是人们用来接近事物本质和形成概念的思维方法。概念教学时，教师要适时帮助学生进行概念抽象，加深学生对概念的理解。

如苏教版数学四年级下册《乘法分配律》的教学过程就是一个帮助学生逐步抽象的过程。教学从“商店进了一批儿童套装，上衣每件80元，裙子每条70元，四年级舞蹈表演买了60套，一共要付多少钱”这样的生活问题人手，让学生说怎么算，教学从说事理开始：接着让学生用数量关系式来表示以上解题思路，帮助学生进行事理的数学概括：然后让学生列式计算，进行事理逐步向算理的嬗变：再让学生找出类似这样的等式，进行算理的推广：最后让学生列举同样的等式，引导学生观察分析，找到相同之处，尝试用字母代替表示此类算式，最终帮助学生把算理符号化，形成数学模型。教学从解决现实问题的事理出发，逐步简约事理，去粗存精，提炼、突显基本内涵，运用数学方法归纳、概括本质属性，最后抽象生成数学模型。这样的数学抽象符合学生的认知规律，它使学生真正理解了“乘法分配律”。

2.强化概念应用，理解概念本质

“使学生初步学会运用所学的数学知识解决一些简单的实际问题”，是新课程标准赋予我们小学数学老师的任务。在学生理解概念的基础上，教师要精心设计各种类型的题目，及时进行概念应用，将抽象的数学概念与现实、与实际应用联系起来进行教学，从而提高学生对数学概念的认识和应用能力。

如教学《认识公顷》这一课时，我设计了一系列练习帮助学生内化“公顷”概念：（1）让学生先估再计算足球场面积：（2）在具体情境中进行单位转化；（3）解决实际生活问题，沟通相关知识的联系：（4）各种场地与面积单位连线，将本节课内容纳入原有知识体系实现认知体系的新建构：（5）读“关于亩的介绍”，提升学生视野，激发学生研究更大面积单位的兴趣。通过这一系列的概念应用，不仅加深了学生对“公顷”这个概念的感知，而且提高了学生解决实际问题的能力，

3.构建概念网络，完善认知结构

郑毓信说：概念教学中，关键是要使学生建立概念的网络结构。学生掌握的概念并非是零散的，而应该是相互联系的。概念教学时，要帮助学生把新概念和已有相关概念建立联系，并把新概念纳入学生已有的认知结构中，让其成为一个整体，这样学生掌握的概念才是有生命力的，学生才会灵活地加以运用。

如在教学《倍的认识》时，先让学生经历多次实物操作过程，感知“倍”与平均分的关系：再过渡到无图让学生直接说几倍，感知“倍”与除法的关系：然后教师提问：为什么要用除法来直接计算？把学生的思维引向深刻，促使学生思考，帮助学生进行新旧知识的链接，把“倍”这个新概念纳入原有知识体系中，将平均分、除法、倍等有关知識建立起了概念网络，从而帮助学生清晰地明白了“倍”的概念原理，掌握了解决“倍”有关实际问题的方法。

总之，我们在教学数学概念时，要把握教材中呈现的概念特点，通过“精致”，充分认识并发挥学生已有日常概念的现实与作用：通过“精致”，使学生获得对概念细节的认识与丰富的概念意象：通过“精致”，促进学生建立层次化的概念网络。