浅论求数列极限的方法

吉林师范大学 姜惠元

浅论求数列极限的方法

吉林师范大学 姜惠元

极限理论是数学分析中的核心理论，贯穿于数学分析的始末，并且在后续的相关学科中有着广泛应用。本文对数列极限的相关问题进行研究，简要列举了求解不同类型的数列极限的相关方法。

数列极限；极限方法；求极限

极限概念在数学分析中是一个较为重要的数学概念，几乎所有后续概念都是由极限概念完成相关定义的。数列极限又是极限思想的基础，它在实际生活中的应用十分广泛，在高等数学中有着重要的地位。

一、数列极限的基本理论

一般地，数列{xn}以a为极限的定义如下：设{xn}是一个数列，a是一个常数，如果对任意给定的正数ε，总存在某个自然数N，使得当n＞N时，都有|xn-a|＜ε，则称数列{xn}当n趋向于无穷大时存在极限（或数列{xn}收敛），极限为a。记作或者xn→a（n→∞），这时也称数列{xn}收敛于a。

二、求数列极限的方法

求解数列的极限是极限知识的基础部分，也是高等数学学习的基石。本文主要列举数列通项公式an的几种简单方式并进行分析，对求解数列极限提供方法。

1．数列{an}的一般项an为简单解析式

当数列的一般项an的解析式给出时，我们可以先观察其是否具备几个解析式的四则运算关系，之后应用四则运算法则，从而求解。

其次，当{an}的一般式an为简单解析式时，可以观察解析式中是否含有已知的特殊形式的极限，应用特殊极限的相应数值进行代换，这样的特殊极限也有很多，如

此类的特殊极限在计算过程中应用十分频繁，应给予高度重视。

2．数列{an}的一般项具有递推关系

当数列{an}的一般项an具有附近几项的推理关系时，可以转换为递推关系的形式，应用单调有界定理或者应用数学归纳法来求解数列极限的相关问题。

解：容易看出，xn+1=应用数学归纳法。

设x=k时，xk＜xk+1（k为自然数）成立，因此2+xk＜2+xk+1，或者即xk+1＜xk+2（k为自然数）。因而，{xn}是严格单调递增的数列。

下证{xn}有上界：当n=1时，有x1=＜2，

设n=k时，xk＜2成立，则有xk+1==2，由归纳法可知，对于有xn＜2，即数列{xn}有上界。

根据单调有界定理可知，数列{xn}收敛。

有a2=2+a，解此方程得a1=2，a2=-1。

但 由于xn＞0，根据极限的保号性定理可知a不能为负数。

极限概念有着深刻的思想性，它包含着事物的无限运动以及变化的过程，体现了从近似到精确、由量变到质变的辩证思维。极限方法是辩证法在数学上的应用，它解决了“曲与直”、“近似与精确”的矛盾，是客观世界中由量变到质变的一种反映。本文介绍了数列极限的定义，对数列极限有了初步的认识，同时通过对简单类型极限的研究，归纳了求解不同类型数列极限的相关方法。

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