例说解析几何常见小误区

鄢文俊

在解析几何问题的繁难和灵活多变等方面，同学们通过努力学习都可以取得一些良好地突破，但在考试得分上又总是不太理想. 大多数人总以为是由一些偶然因素——粗心大意造成的，其实是因为一些没引起注意的误区而“必然”形成了这些失误.

直线的倾斜角与斜率

对直线倾斜角的定义掌握不准确，因忽视斜率不存在的情况而导致误判或漏解.

例1 直线[x+cosθ?y-1=0]的倾斜角[α]的取值范围为________.

错解 [θ∈[π4，π2）]

分析 （1）对直线倾斜角的定义、倾斜角的范围掌握不准确；（2）遗漏斜率不存在的情况；（3）由斜率范围推导倾斜角的范围时出现错误.

正解 （1）当[cosθ=0]时，[α=π2].

（2）当[cosθ≠0]时，[k=-1cosθ].

由[k∈（-∞，-1]?[1，+∞）]得，[α∈[π4，π2）?（π2，3π4]].

综上所述，倾斜角[α]的取值范围为[[π4，3π4]].

例2 已知椭圆[C：（x-1）24+y23=1]，点[F]为椭圆的右焦点，过原点的直线[l]交椭圆[C]于[A，B]两点. 探究[FA?FB]是否存在最大值或最小值？若存在，求出最值；若不存在，请说明理由.

错解 设[A，B]两点坐标分别为[（xA，yA），（xB，yB）].

由题意得，椭圆的右准线方程为[x=5].

由椭圆的第二定义得，

[FA=12（5-xA），FB=12（5-xB）].

所以[FA?FB=14[25-5（xA+xB）+xA?xB]].（*）

设直线[l]的方程为[y=kx]，代入椭圆方程消去[y]整理得，[（3+4k2）x2-6x-9=0].

所以[xA+xB=63+4k2，xA?xB=-93+4k2].

代入（*）式得，[FA?FB=14（25-393+4k2）∈[3，254）].

所以[FA?FB]的最小值为3，无最大值.

分析 设过原点的直线方程时忽视了斜率不存在（即[y]轴）的情况.

正解 （1）当[l]的斜率不存在时，即有[FA?FB=254.]

（2）同上述错解中的步骤.

所以[FA?FB]的最小值为[3]，最大值为[254].

点拨 解有关直线与圆锥曲线的位置关系问题时，往往易遗漏直线斜率不存在的情况. 而这种情况因其位置或方程式的特殊性很容易作答与得分，要优先考虑且优先作答.

圆的方程

圆的标准方程的“标准性”与一般方程中的“必要条件”容易被忽视.

例3 已知圆[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圆心在直线[y=4mx+1]上，则[m=] .

错解 圆[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圆心坐标为[（-m2，-m）]，

由[-m=4m×-m2+1]得，[2m2-m-1=0].

所以[m=-12]，或[m=1].

分析 圆的一般方程形式下[D2+E2-4F>0]为其必要条件，否则该方程不能表达为圆.

正解 由[m2+（2m）2-4（2m2+m-1）>0]得，

[-2

又圆[x2+y2+mx+2my+2m2+m-1=0]的圆心[（-m2，-m）]在直线[y=4mx+1]上，

即[-m=4m×-m2+1]，即[2m2-m-1=0]，于是[m=-12]，或[m=1]（舍）. 故[m=-12].

点拨 若题中给定的圆是一般方程的形式并且含有参数时，要留意[D2+E2-4F>0]这一必要条件，或在转化不烦琐的情况下，先化成标准形式.

例4 已知点[A-3，1，B-4，3]，圆[C： x2+y2=m2]，当圆与线段[AB]没有公共点时，求[m]的取值范围.

错解 将题中的实数[m]当成了圆的半径，误认为[m>0].

分析 在表示圆的标准方程时，虽没“约定”半径一定得用字母[r]，但用字母[r]却成了习惯，若利用其他字母表示时，就要标识其取值范围了.

正解 设[f（x，y）=x2+y2-m2]，由题意得，

[f（-3，1）?f（-4，3）<0]，即[4-m225-m2<0].

所以[m∈-5，-2?2，5].

点拨 坚守“约定俗成”的表达方式，在表达方式中出现另类模式时，应注意可能产生的陷阱：如圆的标准方程中原本是[r2]，而改变成了[m2]；又如抛物线标准方程[y2=2px]中的“[p]”改写成“[a]”等.

圆锥曲线问题

注重对椭圆、双曲线及抛物线定义的理解. 在使用曲线与直线方程联立解题时，运算一定要“细致”，同时要巧妙使用韦达定理，并适时利用判别式加以检验.

例5 抛物线[y=4x2]的准线方程为（ ）

A. [x=-1] B. [y=-1]

C. [x=-116] D. [y=-116]

错解 B

分析 把方程错当成标准方程.

正解 D

点拨 二次函数的图象为抛物线，在学习二次函数时的侧重点是函数知识，其解析式为[y=ax2+bx+c][（a≠0）]（仅因变量在等式左边）. 而圆锥曲线中的抛物线的标准方程为[y2=2px]，或[x2=2py（p>0）]（仅二次项在等式左边）. 对抛物线[y2=ax]来说，其焦点坐标为[（a4，0）]，准线方程为[x=-a4]；对抛物线[x2=ay]来说，其焦点坐标为[（0，a4）]，准线方程为[y=-a4].

例6 求经过点[（12，2）]，且与双曲线[4x2-y2=1]仅有一个公共点的直线方程.

错解 （1）当[k]不存在时，直线[x=12]满足题意.

（2）当[k]存在时，设所求的直线方程为[y-2=k（x-12）]，代入双曲线方程[4x2-y2=1]得，[（4-k2）x2-2k（2-12k）x-（14k2-2k+5）=0].

由[Δ=0]得，[k=52]. 故直线方程为[y=52x+34].

综上所述，所求的直线方程为[x=12]，或[y=52x+34].

分析 在错解的（2）中，利用判别式的前提是要明确方程是一元二次方程，否则会产生漏解.

正解 （1）当[k]不存在时，直线[x=12]满足题意.

（2）当[k]存在时，设所求直线方程为[y-2=k（x-12）]，代入双曲线方程[4x2-y2=1]得，[（4-k2）x2-2k（2-12k）x-（14k2-2k+5）=0].

①当[k=2]时，直线方程为[y=-2x+1]，与双曲线只有一个公共点.

②当[k=-2]时，直线方程为[y=-2x+3]，与双曲线只有一个公共点.

③当直线和双曲线相切时，由[4-k2≠0，Δ=0]得，[k=52]，直线方程为[y=52x+34.]

综上所述，经过点[（12，2）]且与双曲线[4x2-y2=1]仅有一个公共点的直线方程有四条，它们分别为：[y=-2x+1]，[y=-2x+3]，[y=52x+34]，[x=12].

点拨 错解中遗漏了的两条直线[y=-2x+1]，[y=-2x+3]，实际上是过点[（12，2）]且与该双曲线的两条渐近线分别平行的直线. 很显然，这样的直线与双曲线一定只存在一个交点.

例7 已知双曲线[x2-y22=1]，过点[P（1，1）]且被其平分的弦所在直线方程是（ ）

A. [2x-y-1=0] B. [2x+y-1=0]

C. [2x+y+1=0] D. 不存在

错解 设所求弦所在的直线为[l]，它与双曲线交于[A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）]两点.

因为点[P]为线段[AB]的中点，

于是有[x1+x2=2，y1+y2=2].

则[x12-y122=1， ①x22-y222=1. ②]

①-②，并整理得，[kAB=y2-y1x2-x1=2（x2+x1）（y2+y1）=2. ③]

由点斜式方程得，所求的直线方程为：[y-1=2（x-1）]，即[2x-y-1=0]，故选A.

分析 错解中，由①②两式可推出③式，但由③式不能反推出①②两式，因此在运算中可能会出现不等价. 事实上，命题涉及的范围有被放大的可能，故应对所求直线进行相关检验，采取必要的补救措施.

正解 同错解中的步骤. 再由[2x-y-1=0，x2-y22=1]得，[2x2-4x+3=0]，而此方程无解. 说明此直线与双曲线无交点，属增解，应舍去. 故应选D.

点拨 在解析几何的代数运算中，常常要利用常规的变形或运算，因此时刻要留意前后变形的等价性——充要关系. 若需要利用不等价变形，在不等价运算后，应及时采取补救措施，把遗漏的补全，把增加的舍掉.

例8 已知圆[O1：x2+y2=1]，圆[O2：x2+y2-10x+9]=0都内切于动圆，试求动圆[M]的圆心的轨迹方程.

错解 设动圆的圆心坐标为[Mx，y]，半径为[r]，由题意得，两圆的圆心坐标、半径分别为[O1（0，0），O2（5，0）]，[r1=1，r2=4]，且有[r=O1M+1，r=O2M+4].

不难得到，[O1M-O2M=3].

即[x2+y2-（x-5）2+y2=3]，

化简得，[16x2-80x-9y2+64=0].

即[（x-52）294-y24=1]为所求动圆圆心的轨迹方程.

分析 错解中将[O1M-O2M=3]看成[O1M-O2M=3]，把动圆圆心的轨迹错误地认为是整条双曲线，这是对双曲线定义的理解不清導致的.

正解 事实上，[O1M-O2M=3]只能表示其双曲线右支，即所求的方程中应增加[x≥4].

点拨 在解析几何中，与直线或与圆相切（内切，外切）而引起的轨迹问题，经常可以用圆锥曲线的定义直接解题，但需注意正确运用，防止出现遗漏或增加.

例9 在[Rt△ABC]中，[∠CAB=90°]，[AB=2，AC=][22]，点[D]是线段[AB]的垂直平分线上的一点，且点[D]到线段[AB]的距离为2，过点[C]的曲线[E]上任意一点[P]满足[|PA|+|PB|]为常数.

（1）建立适当的坐标系，并求出曲线[E]的方程.

（2）过点[D]的直线[l]与曲线[E]相交于不同的两点[M，N]，且点[M]在[D，N]之间，若[DM=λDN]，求[λ]的取值范围.

正解 （1）[x22+y2=1]（过程略）.

（2）①当[l]与[y]轴重合时，

[DM=1，DN=3，λ=DMDN=13].

②当[l]与[y]轴不重合时，设过[D（0，2）]的直线[MN]的方程为：[y=kx+2.]

由[y=kx+2，x22+y2=1]得，[（1+2k2）x2+8kx+6=0.]（易错点）

[∴x1+x2=-8k1+2k2]，[x1x2=61+2k2>0]，

[Δ=64k2-24（1+2k2）>0.]（易漏点）

∴[k2>32]，即[k<-62]，或[k>62.]（暂不必细求，视后面情况而定——盲目点）

又由[DM=λDN]得，[λ=x1x2.]（如何变为求[λ]的范围——难点）

[λ+1λ=x1x2+x2x1=（x1+x2）2x1x2-2]

[=20k2-63（1+2k2）=103-163（1+2k2）.]（易错点）

∴[2<λ+1λ<103]，∴[13<λ<3].

∵[0<λ<1，]（易漏点）∴[13<λ<1].

综上所述，[13≤λ<1.]（易忘点）

点拨 在解答这一类解析几何题时，发现其思路大致成了一些固定的模式，如“点差法”“相关点法”“韦达定理法”等，但看似会处理的问题往往得分不尽人意，需要在类似上题解答中的一些易错、易漏点上引起警惕，并应避免因盲目计算而浪费宝贵的时间，避免在会做的题上失分.