N(2,2,0)代数的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想*

傅小波，廖祖华

1.无锡职业技术学院，江苏 无锡 214121

2.江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

N(2,2,0)代数的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想*

傅小波1，廖祖华2+

1.无锡职业技术学院，江苏 无锡 214121

2.江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

将模糊点和模糊集间的“∈（属于）”和“q(λ,μ)（广义重于）”关系推广为“∈δ（Ω-属于）”和“（Ω-重于）”关系，提出了-模糊代数。将-模糊代数与N(2,2,0)代数相结合，给出了点态化-模糊理想和Ω(λ,μ)-模糊理想的概念，证明了两者之间的等价关系，研究了它们的一些基本性质；最后提出了点态化-模糊子代数和Ω(λ,μ)-模糊子代数的定义，研究了-模糊理想和-模糊子代数的相互关系。

N(2,2,0)代数；-模糊理想；-模糊子代数

1 引言

非经典数理逻辑理论是处理不确定性信息的有力工具。近年来，越来越多的学者运用代数学的相关理论研究非经典逻辑。1996年，邓方安、徐扬从代数学的角度对fuzzy蕴涵代数[1]的蕴涵算子做进一步抽象，提出了N(2,2,0)代数[2]；随后，众多学者对N(2,2,0)代数的相关理论做了大量的研究，获得了许多有意义的结果[3-7]。

1965年，美国控制论专家Zadeh创立了模糊集理论[8]，随后模糊集的思想和理论引起了众多学者的关注，并被广泛地应用于各个领域；1980年，刘应明在文献[9-10]中给出了模糊点和模糊集间的“∈（属于）”和“q（重于）”关系，极大地促进了模糊集理论的发展；1992年，Bhakat和Das利用“∈（属于）”和“q（重于）”关系，在文献[11]中定义了(∈,∈∨q)-模糊子群。2012年，廖祖华等人将“q（重于）”关系推广为“q(λ,μ)（广义重于）”关系，在文献[12]中引入了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代数，丰富了模糊集理论，并获得了许多有意义的结果[13-15]。

2001年，Young等人在文献[16]中提出了Ω-模糊集，并将其与BCK/BCI代数相结合，给出BCK/BCI代数的Ω-模糊理想的概念。2005年，詹建明等人提出了BCK/BCI代数的Ω-模糊点理想的概念，进一步促进了Ω-模糊集的发展[17]。随后，彭家寅对Ω-模糊集做了进一步的研究，给出了BCI代数的Ω-模糊p-理想、BCI代数的Ω-模糊H-理想、BCH代数的Ω-模糊正定关联理想、BCH代数的Ω-模糊点理想等概念[18-21]；2013年，廖祖华等人将Ω-模糊集与群和环相结合，并对相关的性质进行了研究，获得了许多有意义的结果[22-25]。同时，刘卫锋将Ω-模糊集应用于布尔代数，给出了Ω-模糊子代数的概念[26]。2015年，汤华晶将Ω-模糊集与软集理论相结合，提出了Ω-模糊软环的概念[27]。

本文在上述工作的基础上，给定一个集合Ω，提出了模糊点和模糊集间的“∈δ（Ω-属于）”和“（Ω-重于）”关系。若模糊点和模糊集间具有“∈δ（Ω-属于）”和“（Ω-重于）”关系的代数结构，称之为(∈δ,∈δ∨)-模糊代数。由定义8及例3可知：若令A(x,δ)=A′(x)，则模糊点和模糊集间的“∈δ（Ω-属于）”是“∈（属于）”，“（Ω-重于）”是“（广义重于）”，此时，(∈δ,∈δ∨)-模糊代数是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代数。在一般情况下，(∈δ,∈δ∨)-模糊代数不一定是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代数。因此，(∈δ,∈δ∨)-模糊代数是一种新的代数结构。本文将(∈δ,∈δ∨)-模糊代数与N(2,2,0)代数相结合，给出了点态化的(∈δ,∈δ∨)-模糊理想和(∈δ,∈δ∨)-模糊子代数的概念，并讨论了其相关性质。

2 预备知识

定义1[2]设S是含有常元0的集合，在S中定义二元运算*和Δ，如果∀x,y,z∈S，满足下列条件：

（1）x∗(yΔz)=z∗(x∗y)

（2）(xΔy)∗z=y∗(x∗z)

（3）0∗x=x

则称(S,∗,Δ,0)是一个N(2,2,0)代数，简称S是一个N(2,2,0)代数。

若(S,∗,Δ,0)是一个N(2,2,0)代数，则(S,∗)和(S,Δ)都是半群，因此N(2,2,0)代数是带有一对对偶半群的双半群；若将定义1中的条件（3）0∗x=x，加强为0∗x=x=x∗0，则(S,∗,Δ,0)代数是一个交换幺半群，且∗=Δ。

例1设S={0,1}，S上的运算*和Δ的定义如表1、表2，则S={0,1}是一个N(2,2,0)代数[2]，同时也是一个交换幺半群。

Table 1 Operator“*”表1 运算“∗”

Table 2 Operator“Δ”表2 运算“Δ”

一般情况下，若(S,∗,Δ,0)是一个N(2,2,0)代数，且∗≠Δ，则(S,∗,Δ,0)不一定是交换幺半群。

例2设S={0,a,b}，S上的运算∗和Δ的定义如表3、表4，则S={0,a,b}是一个N(2,2,0)代数[3]，但不是交换幺半群。

Table 3 Operator“*”表3 运算“∗”

Table 4 Operator“Δ”表4 运算“Δ”

引理1[2]若S是一个N(2,2,0)代数，则∀x,y,z∈S，恒有下列等式成立：

（1）x∗y=yΔx；

（2）x∗(y∗z)=y∗(x∗z)，(xΔy)Δz=(xΔz)Δy；

（3）(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，(xΔy)Δz=xΔ(yΔz)。

定义2[3]Q是S的子集，称Q是S上的一个理想，如果满足下列条件：

（1）0∈Q；

（2）∀x∈Q，若x∗y∈Q，则y∈Q。

定义3[15]Q是S的子集，称Q是S上的一个子代数，如果满足下列条件：

（1）0∈Q；

（2）∀x,y∈Q，有x∗y∈Q且yΔx∈Q。

定义4[15]设A是S上的一个模糊子集，称A是S广义模糊N(2,2,0)子代数，如果∀x,y∈S，满足下列条件：

（1）A(0)∨λ≥A(x)∧μ；

（2）A(x∗y)∨λ≥A(x)∧A(y)∧μ；

（3）A(xΔy)∨λ≥A(x)∧A(y)∧μ。

定义5[15]设A是S上的一个模糊子集，称A是S的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊N(2,2,0)子代数，如果∀t,r∈(λ,1]及∀x,y∈S，则有：

（1）若xt∈A，则0t∈∨q(λ,μ)A；

（2）若xt∈A且yr∈A，则(x∗y)t∧r∈∨q(λ,μ)A；

（3）若xt∈A且yr∈A，则(xΔy)t∧r∈∨q(λ,μ)A。

引理2[15]A是S的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊N(2,2,0)子代数⇔A是S的(λ,μ)-模糊N(2,2,0)子代数。

定义6[12]设t,λ,μ∈[0,1]且λ〈μ，A是S上的一个模糊集，若A(x)≥t，则称xt属于A，记作xt∈A；若λ〈t且A(x)+t＞2μ，则称xt广义重于A，记作xtq(λ,μ)A；若xt∈A或者xtq(λ,μ)A，则记作xt∈∨q(λ,μ)A。

本文从现在开始恒假设λ,μ∈[0,1]且λ〈μ。

定义7[16]设Ω,X是非空给定集合，则称映射A:X×Ω→[0,1]为X的Ω-模糊集。

3 N(2,2,0)代数的(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-模糊理想

4 N(2,2,0)代数的(∈δ,∈δ∨)-模糊子代数

5 结束语

给定一个集合Ω，提出了模糊点和模糊集间更为广泛的“∈δ（Ω-属于）”和“（Ω-重于）”关系的定义，并将其应用于N(2,2,0)代数，给出了(∈δ,∈δ∨)-模糊理想和(∈δ,∈δ∨)-模糊子代数的概念；研究了它们的一些基本性质及相互之间的关系，获得了一些有学术意义的结论。在后续的工作中，将对(∈δ,∈δ∨)-模糊代数做进一步的研究。

[1]Wu Wangming.Fuzzy implication algebras[J].Fuzzy Systems and Mathematics,1990,4(1):56-64.

[2]Deng Fang'an,Xu Yang.OnN(2,2,0)algebras[J].Journal of Southwest Jiaotong University,1996,34(4):20-27.

[3]Deng Fang'an,Xu Yang,Yuan Jian.Ideal and relevanti deal ofN(2,2,0)algebras[J].Journal of Hanzhong Teachers College:Natural Science,1998,16(1):6-9.

[4]Chen Lu.Medial idempotents ofN(2,2,0)algebras[J].Pure andApplied Mathematics,2011,27(4):433-436.

[5]Li Xudong,Song Xuemei.A subalgebra ofN(2,2,0)algebras[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Nankaiensis:Natural Science,2012,45(3):57-61.

[6]Deng Fang'an,Yong Longquan.Regular semigroups ofN(2,2,0)algebras[J].Advances in Mathematics,2012,41 (6):665-671.

[7]Deng Fang'an.E-inversive semigroups ofN(2,2,0)algebra[J]. Journal of Mathematics,2014,34(5):977-984.

[8]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8 (3):338-353．

[9]Pu Paoming,Liu Yingming.Fuzzy topology(I)neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,76(2):571-599．

[10]Pu Paoming,Liu Yingming.Fuzzy topology(II)product and quotient spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,77(1):20-37．

[11]Bhakat S K,Das P.On the definition of a fuzzy subgroup [J].Fuzzy Sets Systems,1992,51(2):235-241．

[12]Liao Zuhua,Yi Lihua,Hu Miaohan.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzykideals of semigroups[J].Journal of Mathematics,2012,32 (2):191-205.

[13]Liao Zuhua,Hao Cuiyun,Chen Yunsheng.Generalized fuzzy completely semiprime(prime)ideals of a rings[J].Information an International Interdisciplinary Journal,2012, 15(6):2539-2542.

[14]Zhang Jianzhong,Fu Xiaobo,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideal ofN(2,2,0)algebra[J].Journal of Frontiers of Computer Science and Technology, 2014,8(5):622-629.

[15]Zhang Jianzhong,Fu Xiaobo,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy associative ideal ofN(2,2,0)algebra[J].Computer Engineering andApplications,2014,50(12):54-58.

[16]Young B J,Kyung H K.OnΩ-fuzzy ideals of BCK/BCI-algebras[J].The Journal of Fuzzy Mathematics,2001,9(1): 173-180.

[17]Zhan Jianming,Tan Zhisong.Ω-fuzzy dot ideals of BCK/ BCI-algebras[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2005,19 (2):54-57.

[18]Peng Jiayin.Ω-fuzzy P-ideals of BCI-algebras[J].Journal of Neijiang Normal University,2008,23(12):8-15.

[19]Peng Jiayin.Ω-fuzzy H-ideals of BCI-algebras[J].Journal of Neijiang Normal University,2009,24(2):5-10.

[20]Peng Jiayin.Ω-fuzzy dot ideals of BCH-algebras[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2009,23(6):5-11.

[21]Peng Jiayin.Ω-fuzzy positive implicative ideals in BCK-algebras[J].Mathematics in Practice and Theory,2010,40 (2):157-163.

[22]Zhu Xiaoying,Liao Zuhua,Luo Xiaotang,et al.Ω-fuzzy subsemigroup of semigroups[J].Journal of Jiangnan University:Natural Science Edition,2013,12(3):343-346.

[23]Luo Xiaotang,Liao Zuhua,Zhu Xiaoying,et al.GeneralizedΩ-fuzzy bi-ideals of semigroups[J].Journal of Jiangnan University:Natural Science Edition,2013,12(4):480-484.

[24]Luo Xiaotang,Liao Zuhua,Zhu Xiaoying,et al.Ω-fuzzy interior ideals of semigroups[J].Journal of Jiangnan University:Natural Science Edition,2014,12(4):400-494.

[25]Zhu Chan,Liao Zuhua,Luo Xiaotang,et al.Ω-fuzzy complemented subsemiring[J].Fuzzy Systems and Mathematics, 2014,28(5):11-18.

[26]Liu Weifeng.Ω-fuzzy subalgebra of Boolean algebra[J]. Journal of Hubei University:Natural Science,2013,35(2): 144-148.

[27]Tang Huajing,Zhang Hui.Ω-fuzzy soft rings[J].Computer Engineering andApplications,2015,51(9):122-124.

附中文参考文献：

[1]吴望名.Fuzzy蕴涵代数[J].模糊系统与数学,1990,4(1): 56-64．

[2]邓方安,徐扬.关于N(2,2,0)代数[J].西南交通大学学报, 1996,34(4):20-27．

[3]邓方安,徐扬,袁俭.N(2,2,0)代数的理想与关联理想[J].汉中师范学院学报:自然科学版,1998,16(1):6-9.

[4]陈露.关于N(2,2,0)代数的中间幂等元[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(4):433-436．

[5]李旭东,宋雪梅.一个N(2,2,0)子代数[J].南开大学学报:自然科学版,2012,45(3):57-61．

[6]邓方安,雍龙泉.N(2,2,0)代数的正则半群[J].数学进展, 2012,41(6):665-671．

[7]邓方安.N(2,2,0)代数的E-反演半群[J].数学杂志,2014, 34(5):977-984.

[14]张建忠,傅小波,廖祖华.N(2,2,0)代数的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正关联理想[J].计算机科学与探索,2014,8(5):622-629.

[15]张建忠,傅小波,廖祖华.N(2,2,0)代数的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊结合理想[J].计算机工程与应用,2014,50(12):54-58.

[17]詹建明,谭志松.BCK/BCI-代数的Ω-模糊点理想[J].模糊系统与数学,2005,19(2):54-57.

[20]彭家寅.BCH-代数的Ω-模糊点理想[J].糊系统与数学, 2009,23(6):5-11.

[21]彭家寅.BCH-代数的Ω-模糊正定关联理想[J].数学的实践与认识,2010,40(2):157-163.

[22]朱晓英,廖祖华,罗晓棠,等.半群的Ω-模糊子半群[J].江南大学学报:自然科学版,2013,12(3):343-346.

[23]罗晓棠,廖祖华,朱晓英,等.半群的广义Ω-模糊双理想[J].江南大学学报:自然科学版,2013,12(4):480-484.

[24]罗晓棠,廖祖华,朱晓英,等.半群的Ω-模糊内理想[J].江南大学学报:自然科学版,2014,13(4):490-494.

[25]朱婵,廖祖华,罗晓棠,等.Ω-模糊可补子半环[J].模糊系统与数学,2014,28(5):11-18.

[26]刘卫锋.布尔代数的Ω-模糊子代数[J].湖北大学学报:自然科学版,2013,35(2):144-148.

[27]汤华晶,张慧.Ω-模糊软环[J].计算机工程与应用,2015, 51(9):122-124.

FU Xiaobo was born in 1980.He is a lecturer at Wuxi Institute of Technology,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

傅小波（1980—），男，江苏灌云人，无锡职业技术学院讲师，CCF会员，主要研究领域为人工智能，粒计算等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

廖祖华（1957—），男，江西奉新人，江南大学教授、硕士生导师，主要研究领域为人工智能，粒计算等。发表学术论文100多篇，主持省部级基金项目多项。

(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-Fuzzy Ideals ofN(2,2,0)Algebras*

FU Xiaobo1,LIAO Zuhua2+
1.Wuxi Institute of Technology,Wuxi,Jiangsu 214121,China
2.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
+Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@aliyun.com

In this paper,“Ω-belongs to(∈δ)”and“Ω-quasi-coincident with()”relationships are generalized by the view of“belongs to(∈)”and“quasi-coincident with(q)”relationships between the fuzzy point and the fuzzy set.The definition of-fuzzy algebra is presented.Combining the-fuzzy algebras and theN(2,2,0)algebras,the concepts of pointwise-fuzzy ideals andΩ(λ,μ)-fuzzy ideals are introduced, and the equivalence relationship of this two definitions is discussed.Some basic properties of them are also studied.Finally,this paper proposes the concepts of pointwise-fuzzy subalgebras andΩ(λ,μ)-fuzzy subalgebras, and studies the mutual relationships between-fuzzy ideals and-fuzzy subalgebras.

N(2,2,0)algebra;-fuzzy ideals;-fuzzy subalgebras

10.3778/j.issn.1673-9418.1512084

A

TP18

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.611702121,11401259(国家自然科学基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu Province under Grant No.BK2015117(江苏省自然科学基金);the Scientific Research Subject of Wuxi Institute of Technology under Grant No.3116015931(无锡职业技术学院科研课题).

Received 2015-12,Accepted 2016-03.

CNKI网络优先出版:2016-03-17,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160317.1129.002.html

FU Xiaobo,LIAO Zuhua.(∈δ,∈δ∨qδ(λ,μ))-fuzzy ideals ofN(2,2,0)algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(2)：323-332.