导数法解决单调性问题的几点提示

导数法解决单调性问题的几点提示

■山东省枣庄二中 赵 峰

利用导数解决函数的单调性问题比利用函数的单调性定义简捷,但在应用中应注意以下几点。

一、注意准确理解函数的单调性与导数正负的关系

设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,如果恒有f'(x)＞0,则函数f(x)在(a,b)内是增函数;如果恒有f'(x)＜0,则函数f(x)在(a,b)内是减函数。

应该指出的是,对于可导函数f(x)来说,f'(x)＞0是f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,f'(x)＜0是f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件。如f(x)=x3在R上为增函数,而f'(0)= 0,在x=0处不满足f'(x)＞0。

二、不能忽略定义域

A.(0,1)

B.(0,1)和(-∞,-1)

C.(0,1)∪(-∞,-1)

D.(0,+∞)

剖析：本题中函数f(x)的定义域为(0,+∞),而在求解过程中,因忽视定义域导致错解。

正解：由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞)。

点评：用导数研究函数的单调性时,往往易忽视函数的定义域,造成所求单调区间不正确的现象,因此一定要记住在函数的定义域范围内研究函数的性质。

三、多个同单调区间不能盲目用并集符号相连

函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间是_____。

解析：解不等式f'(x)＞0,可求单调递增区间。

由f'(x)=6x2-1 2x＞0,可得x＞2或x＜0,故函数的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),或写出(-∞,0),(2,+∞)。

点评：当函数的同一单调性的区间不唯一时,不能盲目利用“并集”符号把区间并起来,可以用逗号或“和”字连接。取并集后,集合就是一个整体,区间的端点处的大小和函数单调性保持一致。

四、注意分清条件区间与单调区间

若函数f(x)=x3-m x2+2m2-5的单调递减区间是(-9,0),求m。

剖析：没看清楚条件,若告诉f(x)在(-9,0)上单调递减,则上述解法是正确的,这与告诉递减区间是(-9,0)是不一样的。

点评：已知函数f(x)在某个区间上的单调性求参数和已知函数f(x)的单调区间求参数是不一样的,前者说明某个区间是函数单调区间的子集,而后者说明这个区间即为函数的单调区间。

(责任编辑 徐利杰)