基于直观归于本质——对『长方体体积=底面积×高』的教学反思

何月丰

在学习长方体体积计算时，对“长×宽×高”这个计算方法的理解是教学重点，对此，学生往往要经历观察、操作、归纳这样一个过程。而对于“底面积×高”的理解，过程相对就会简略许多，一般仅以“底面积”可由“长×宽”计算得来这样一种类似等量代换的形式来加以推理。这样的处理，对学生运用这个计算方法解决问题显然没有太大的影响。值得思考的是：这样的处理，学生真的理解了吗？一次听课中，学生就出现了这样的疑惑：前面刚学“长×宽”代表一层，而底面积是一个面，意思不一样的呀？

学生的疑惑有道理吗？我们不妨来分析一下：

长方体的体积=长×宽×高。当长方体的长a、宽b和高h都是整数时，这个长方体正好等分为b行、a列、h层个体积为1的正方体，所以体积为abh个体积单位。在实际教学中，一般引导学生这样理解：“长”代表“一行有几个（对应的体积单位）”，“宽”代表“有几行”，“高”代表“有几层”。故“长×宽×高”代表“一行几个×几行×几层”。由此可得：在计算长方体体积中的“长×宽”，其计算结果表示“一层体积单位的个数”。

再来看“底面积”。无论从本意理解还是教材呈现，长方体的底面积指长方体底面的面积。因此，这里需要回顾长方形面积的计算方法。

长方形的面积=长×宽。当长方形（矩形）的长a和宽b都是整数个长度单位时，则这个长方形正好等分为b行、a列面积为1的正方形，所以面积为ab个面积单位。在实际小学教学中，一般引导学生这样理解：“长”代表“一行有几个（对应的面积单位）”，“宽”代表“有几行”。由此可得：在计算长方体底面积中的“长×宽”，其计算结果表示“这个底面包含的面积单位的个数”。

通过上述分析可知，长方体体积计算中的“长×宽”与长方体的底面积不能简单地等同起来，两者在意义上是不同的。由此可见，学生的疑惑是有一定道理的。进一步可知，仅以“底面积”可由“长×宽”计算得来这样一种类似等量代换的形式来加以推理，学生在理解上是有盲区的。

那么，为什么“底面积×高”可以成为所有直柱体体积的通用计算方法，这自然有其可以解释的道理。但是这个道理涉及到了一个小学生难以真正理解的知识——微积分（极限）。我想，这或许也就是教材对此“避而不谈”，而仅以“长×宽=底面积”来进行形式化推理的缘由。

如何来化解这个矛盾？其实教材一开始就给出了方法——直观理解:长方形面积就是计算长方形包含的面积单位的个数，直观形象；长方体体积就是计算长方体包含体积单位的个数，同样直观形象。“底面积×高”，自然也可以走这样的直观化认知之路。

例如，以上面的长方体为例：底面积是12平方厘米，代表底面包含了12个1平方厘米的面积单位，每个面积单位上都可以摆1个1立方厘米的体积单位，因此12平方厘米就对应12立方厘米。这样，“底面积×高”的道理就通了。实际教学时，在前面直观理解“长×宽×高”道理的基础之上，引导学生看一看、想一想，最后可由课件进行直观演示，学生自然就明白了。

其实“直观化”一直贯穿于整个小学几何教学，这也符合儿童几何以“直观几何”为主的心理特征。除了上述例子，例如圆柱转化成近似长方体进而得出体积计算方法，也是直观之路，因为其本质涉及到了祖暅原理，显然小学生又难以理解了。