注重知识的整合——三角复习教学例谈

马卫华

(江苏省南通市通州区金沙中学 226300)

三角是中学数学中非常重要的一章，其既有大量的角度变换公式，也有非常多的代数变形．从历届学生的学习来看，学生对于三角章节的学习存在着大量的困难，造成这种困扰的因素是多方面的的：首先是三角基本知识的不完全理解，我们知道，三角章节存在着大量的基本公式以及公式变形，因教学进度导致学生未能有效消化这些数学公式，使其运用公式解决问题比较困难；其次是三角中存在着大量需要理解的数学概念，学生往往学习的是如何解数学题，并不注重概念的运用，如三角函数线是怎么回事？三角函数的定义是如何推广到任意角的？一概不知；最后是三角函数是一种以角度为自变量的函数，跟一般的函数f(x)是一个道理，但是如何将其整合到不同章节中去，并运用其解决问题是最需要突破的．

一、概念性知识的运用

三角一章中有着不少的数学概念，从任意角开始到各种函数的出现，呈现的是螺旋式上升的概念进阶．从学生反馈来看，三角函数定义、三角函数线等一系列起始概念并未被学生掌握，虽然后续三角函数知识的引入也能解决相关问题，暂时掩盖了前面概念学习的缺失，但是对于其全方面理解知识、运用知识却带来了较大的困难．

问题1 在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 ．

说明随着三角学习过程的深入，笔者发现学生渐渐对三角函数线等一系列基本概念抛诸脑后，问题的解决不能仅仅依赖图象，这样不利于学生对三角知识的全方面理解，因此将三角函数线知识整合到本题的解决中，恰恰是为了学生回顾这些基本概念作出的反馈．很多时候，学生对于三角函数线之类重要的概念完全无视，可以说这是教师教学的不重视，只注重后续函数图象解决问题的时效性，却忘记了三角函数定义的本质，这样的教学是不可取的．

二、与前期知识的整合

三角知识承前启后，有些知识与前期所学知识紧密相关，而有些却为后续的知识作出了重要的铺垫．但是孤立的学习每一单元的知识，导致学生并不理解这些知识的重要性，在解决问题时往往陷入孤立的境地．以解三角形中《正弦定理》学习为例，学生对于正弦定理最难以掌握的是三角形解的个数的判断，而教材思考与阅读中的三幅判断解的个数的图形，学生更是不喜欢运用．那么如何去整合这一教学的难点呢？笔者引导学生思考初中数学全等三角形判断的条件，从这一定性的分析从而进入定量的分析：初中数学判断三角形全等有三个标准，即SSS，SAS，AAS，而SSA是不能作为判断全等三角形的依据的．即：

问题2 在△ABC中，由下列各组条件求解三角形，其中有两个解的是____．

①b=20,A=45°,C=80°;

②a=30,c=28,B=60°;

③a=14,b=16,A=45°;

④a=12,c=15,A=120°;

⑤a=4,b=5,c=6;

解析第①项，AAS，必定一解；

第②项，SAS，必定一解；

第③项，SSA，sinB<1且a

第④项，SSA，且C>A=120°，无解；

第⑤项，SSS，必定一解；

第⑥项，SSA，sinB=1，一解．

说明与初中数学全等三角形判别知识的整合，学生迅速理解了哪种情况下需要作出三角形不是唯一解的判别，这与正弦定理相互结合，将知识的理解和运用提升到了一个更为重要的层面，是符合复习教学的特点的，将知识整合经过螺旋式上升的教学，大大加深了学生对知识的理解和运用的能力．

三、注重换元思想的介入

三角章节可以看成是工具性作用突出的章节，不少函数问题在解决过程中可以依赖三角进行求解，这大大加快了解决过程．将三角问题转换为函数问题，这需要换元数学思想的介入，因此将知识与思想的整合是复习教学的核心．

总之，知识学习的整合告诉我们，教师首先需要自身加强对知识的理解，了解这些知识的“前世今生”，唯有足够的理解才能告诉学生这些知识如何整合到其他知识中去，才能让学习的知识不再是孤立的，本文以三角中部分知识点为例进行说明，不当之处恳请读者指正．

[1]姜兴荣.探求解题思路的几种有效策略[J].中小学数学,2013(7).

[2]范广法.三角函数问题解决的五大要素[J].中学数学,2015(4).

[3]刘见乐.用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育,2011(5).