近代欧洲几何与绘画结合的基本方式

杨红彦

摘 要：考证概括了文艺复兴时期的艺术家将希腊传统的古典几何知识用于艺术创作的过程。比较分析了达·芬奇、丢勒等人的重要著作及其手稿中的透视、比例和构型问题。说明在文艺复兴特定的历史背景和时代氛围中，艺术家强调写实与审美的结合，而数学成为写实的重要手段。他们的工作促进了数学和艺术的共同发展，同时，此种方法影响了欧洲后来的绘画。

关键词：文艺复兴；几何学；艺术；刨分；组合；中世纪

绘画和几何学都是空间的“刨分-组合”，长期以来人们认为作为数学的几何与作为艺术的绘画之间没有直接关联：几何基于空间部分的简单重复，而绘画则强调多变（部分与部分不同）。但是文艺复兴时期的艺术家却从几何学的角度考虑绘画问题。数学在艺术中的应用是艺术发展的一个巨大的转折，这是与当时的历史和文化背景相关的。

中世纪艺术家的作品大都是宗教题材，他们把超越世界中的事件用直观的图形表达出来，因而与基于视觉的经验事件有很大差异。除了极个别的例外，中世纪绘画是是一种“写意”画，一种向平信徒宣讲圣经故事和宗教教义的工具，往往借用象征和夸张的手法，表达关于天堂的宏伟图景。例如人物画的背景用金色渲染，衬托他们所处天堂的富丽堂皇。中世纪艺术家Simone Martini的著名的作品“天使”（The Annunciation）是中世纪绘画的代表作。

受希腊复兴的影响，人文主义艺术家强调 “写实”，即精确、真实地反映视觉对象的空间结构。和自然哲学家用数学描述世界图景的思路相似，15世纪的艺术家强调真实而审美地再现对象，认为数学是真实性的基础。同时，文艺复兴时期的艺术家是一种博学多才的人文主义者，他们研究力学、建筑、光学、解剖学，等等，精通建筑、工程、希腊数学。他们自觉利用数学知识于艺术创造活动之中，甚至于专门从事数学教学，写出独特的数学专著（mathematics in art）。最为典型的代表是几何与绘画的结合，主要方式是透视、比例和空间构形。

一、透视问题

以数学或几何学的方式真实地反映物体对象，首当其冲的是物体如何把三维空间的物体表达在二维空间（画面）之中，即透视问题。艺术家在把三维视觉和内在直觉中的空间结构“转移”到二维画面上的尝试中，发现几何学似乎是有效的运载工具。希腊人也考虑到透视问题，但那是零散个别的例子，而且是独立于数学几何学的。而近代艺术家直接从数学角度考虑透视问题，最早关注透视问题的是Giotto（1266/7 – 1337），他用代数方法（学艺数学）计算远近实物的画面比例。

文艺复兴时期的欧洲学者受al-Haytham和Giotto的影响，al-Haytham最先提出视觉是人的眼睛接受反射光。利用几何学主要是想真实地再现实物的结构。Filippo Brunelleschi（1413）是最早明确提出透视原理的著作，Filippo Brunelleschi于1425年在设计描画佛罗伦萨教堂的手稿中提出定点透视。Jan van Eyck的Arnolfini Portrait（1434）和Parmigianino的“自画像”（Self-portrait in a Convex Mirror）引入不同于直线透视的曲线透视（curvilinear perspective）。

最先系统论述几何透视的是Alberti的《论绘画》（On painting 拉丁语原作De pictura，1435）。他的《论绘画》共三部分。第一部分专门讨论了绘画的几何学原理。他认为：绘画在本质上是一种几何学，提出明确的“定点透视”，提出明确的没影点（vanishing point）。他的《论绘画》（On Painting 1435）集中讨论透视法则——如何把三维实物真实地反映在二维画布上去，是系统论述透视的第一部著作。Alberti 提出视锥（visual pyramid或visual cone）截景的概念。Leon Battista Alberti （1404–72）的关于绘画艺术的著作有很大影响，同时使得传统的艺术从手工技艺走向理性知识。

Alberti的学生Piero是艺术几何化的后继者，他的包含大量插图的手稿（保存在梵蒂冈）《论算艺》Del abaco （On the Abacus）是一部实用数学手册，和达·芬奇的风格相似。他深入研读希腊数学，特别是阿基米德的著作，他在学艺学校（abacus schools）教授数学，编写数学教材。历史学家Vasari的《画家的生活》称其为那个时代最伟大的几何学家。Piero对Luca Pacioli 和达·芬奇有直接影响。

Luca Pacioli （1446– 1517）出生于意大利，是著名数学家、方济会修士，被称为 “会计学之父”。他的《算术、几何、比例及比例论总论》（1494，1523）是文艺复兴时期的数学著作代表，直接影响了达·芬奇。所以，达·芬奇第一次提出“艺术是一门科学”，这批艺术家为了真实地反映对象而研究透视学和解剖学。当然艺术中的科学是一个手段，是通过“艺术—科学—艺术”而达到一种更高的艺术。其典型的代表就是把二维画布上真实地反映三维空间中的实物变成为具体的几何学问题。他提出两种透视方法：即艺术透视和自然透视（artificial perspective and natural perspective）。这些具有丰富的科学知识的艺术家的几何方法和艺术创作互相影响。丢勒的两幅作品给出“透视-截景”（projection and section）原理的解释，这种原理被纯数学家发展为一门重要的几何学，其中涉及不同于欧几里得几何的新的“不变性或等价性”。

另外，文艺复兴时期的学者在绘制地图过程中传播和改进了希腊人的投影法。麦卡托（G.Mercator，1512～1594）提出著名的Mercator投影法（Miller projection），即“画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的”，他选择对数函数作为解析变换。与绘画中的透视方法非常接近。Egnatio？Danti（1583）概括了透视学的历史，从中可见16世纪的艺术家程度不同地用几何方法研究透视问题。

二、比例问题

Pacioli的《算术、几何和比例概论》（1495）是人文主义的混合数学的代表，其中很多问题都以绘画中的比例问题为例。特别是他的《神圣比例》（De Divina Proportione 1509）是一部绘画比例的专著，其中包含达·芬奇关于黄金比例问题的论述。

另一个典型的代表丢勒（Albrecht Dürer，1471—1528）出于绘画的需要而学习数学，但也不限于绘画的需要。他是文艺复兴时期画家中最优秀的数学家，也是数学家之中最优秀的画家。他出生于德国的纽伦堡，和那个时代的许多知识分子一样，早年在意大利留学，跟Pacioli学习数学，后来回到德国从事创作和印制版画。他在几何学方面的工作与他的艺术创作融为一体。他把几何学作为艺术创作的一种重要的技术手段。他说：“艺术家之所以忽视他们创作中的错误，唯一的理由是他们缺乏几何知识，没有几何知识无法成为真正的艺术家……正因为几何学是一切绘画的恰当基础，所以我决意要为那些渴望成为艺术家的人教授基本的几何原理。”他的著作主要有“度量四部”（第一部德语数学著作），是重要的几何学著作。其中第一卷讨论螺线、摆线等线性问题；第二卷是平面几何，主要内容是正多边形；第三卷主要是几何学在工程、建筑和版画制作方面的应用；第四卷是立体几何，包括五种正多面体，同时涉及大量透视问题。丢勒把绘画中的待比例、对称问题数学化，通过几何构图和算术计算获得具有审美意义的空间比例关系。

他关心几何的视角不同于希腊人，他欣赏托勒密的几何学胜于欧几里得，是透视的几何化的标志。他考虑了空间曲线透射到平面上的方法，还考虑了一个物体的三视图，涉及到后来的画法几何。他的书主要是绘画技法方面的内容，这和几何学还有一段距离，但体现着一种全新的空间关系，它们是建立几何学的材料基础。他的几何学主要是比例和透视问题，其中最为重要的是人体的比例、建筑的比例以及它们之间的关系。

丢勒之后Federico Commandino把透视的几何原理从绘画推广到地图绘制。以前的艺术家大都是给弟子们讲授画技而用几何方法（rules for artists），但Federico Commandino的教科书主要是为数学家，而非艺术家所写。可见源于绘画的数学问题成为新的数学研究领域。

后来，Michael Maestlin在给他的学生开普勒的信（1597）中给出黄金数的近似值（0.6180340），开普勒证明黄金数是斐波那契数列的极限，称其为数学和艺术的“宝石”，可见比例问题在艺术和数学中产生了同样重要的影响。

Jean Fernel的《论比例》（1528）进一步发展和完善了Thomas Bradwardine的比例理论，与丢勒的工作一同构成数学比例在绘画中的应用代表。

三、构形问题

除了透视的技法，文艺复兴时期的艺术家是否进一步思考“数学与艺术”的深层关联。

几何学对绘画影响的另一种方式是几何图形的结构在绘画中的应用，如借助于几何方法的艺术表达手段是Anarnorphic Art。把圆柱、圆锥、球等对称的几何图形用来解释和勾画绘画草图。Brunelleschi和Alberti（1415）把欧氏几何中的相似三角形用于绘画。

把具体的几何形体用于绘画的最典型的代表是Piero，他其实是一位数学家，他的数学课本（Trattato d'abac，1450）包括算术、代数、几何等，其中涉及透视几何的内容。Piero在《简论五种正则立体》（Short book on the five regular solids，1460或者1470）中提出：绘画有三条基本原则，构图、比例和色彩（drawing， proportion and colouring），构图和比例都与数学有关，而构图就是用具体的立体几何形体作为绘画的基础。

丢勒的数学工作不限于透视，而是更加宽泛的“几何”用于绘画，特别是他的绘画涉及数学曲线与点的对偶关系的“包络线”（envelope），（丢勒（1525）， p 38），或许只有艺术家才首先想到用“线构成线”这样的思路。Wentzel Jamnitzer 的优美的《柏拉图立体》（1568）研究了柏拉图的正则多面体在绘画中的应用。

丢勒认为人体是各种几何图形按照一定比例的组合，例如整个人体可以看成是一个圆柱，然后各个部分可以看做是三角形、长方形；球、各种椎体、柱体等。这说明当时的绘画大师很相信数学的实在性，认为是写实艺术的重要手段。所以文艺复兴时期的绘画可以说是“几何之骨架与艺术之血肉的完美结合”。后来Leibniz （see Leibniz 1694a）， Joh. Bernoulli and de LHospital等数学家也考虑过相似的问题。

丢勒多面体成为一个独特的几何与艺术的结合，也成为一个神秘问题。丢勒的画中还有一个“丢勒幻方”。Bachet写的有关数学谜题的专门著作（Problemes plaisans et delectables. by Claude Gaspar Bachet， published in France in 1612，法语写作的），构造了幻方，成为此后趣味数学的摹本。

Masaccio把Brunelleschi的原理用于绘画。这些思想一直影响到现代，精通希腊数学的Della Francesca有关立体几何的著作把欧几里得几何用于空间透视，他的《论算艺》和《正则立体》本是数学著作，但很多例子都是来源于绘画。

达·芬奇还给出一个画圆为方问题的非尺规解法。他还给出一个方法计算眼睛到物体之间的距离。

总体来说，算艺数学发展不同于传统（scholarly traditions）的demonstration and proof新的数学合理性标准或者推演方式。文艺复兴时期的艺术家、工程师、建筑师提出现代几何问题，这和测地术中实用问题以及其他的技术（technology）应用不同，这里是一种技艺（arts）问题，这是工匠传统的方式之一。这时候很多数学是从实际问题出发，但程度不同地都发展到纯数学的水平，如三角学和对数。相比之下透视学尚处于学艺技术的水平。

或许，艺术的数学解释或者数学方法在艺术中的应用具有双重意义：一方面是成功把握模特的形体特征；另一方面是埋下异化艺术的可能。这是一个值得深思的问题！

参考文献：

[1]Edgerton， Samuel Y.， Jr. The Renaissance Rediscovery of Linear Perpsective. New York： Basic Books， 1975，

[2]J V Field，The invention of infinity ： Mathematics and art in the Renaissance（Oxford， 1997）

[3]K Veltman， Piero della Francesca and the two methods of Renaissance perspective， in Between art and science ： Piero della Francesca （Italian）， Arezzo-Sansepolcro， 1992（Venice， 1996）， 407-419.

[4]J V Field， Piero della Francesca and the "distance point method" of perspective construction，？Nuncius Ann. Storia Sci.10（2） （1995）， 509-530.

[5]J V Field， R Lunardi and T B Settle， The perspective scheme of Masaccio's Trinity fresco，？Nuncius Ann. Storia Sci.4（2） （1989）， 31-118.

[6]A Flocon， Wentzel Jamnitzer ： Perspectiva corporum regularium， in？Sciences of the Renaissance， Tours， 1965（Paris， 1973）， 143-151.

[7]K Andersen， Perspective and the plan and elevation technique， in particular in the work by Piero della Francesca， inAmphora（Basel， 1992）， 1-23.

[8]Padovan， Richard （2002）. "Proportion： Science， Philosophy， Architecture".Nexus Network Journal 4 （1）： 113 122.

作者单位：

天津师范大学美术与设计学院