基于分数阶Fourier变换的微弱LFM信号检测

纪秀美，张 莉，李俊超

（1.31002部队；2.31008部队，北京 100091）

LFM信号是被广泛应用于雷达、声纳及通信领域，也是一种典型的低截获概率信号[1-4]。对于LFM信号的检测，目前国内外已提出多种检测方法[5-7]，但是随着信噪比的降低，其检测性能显著下降。文献[8]采用增加信号采样点的方法改善信号的输出信噪比，但是，信号的观测时间和采样频率是受限的。文献[9]提出了一种微弱LFM信号检测方法，该方法在LFM信号的分数阶Fourier域LMS自适应滤波算法的基础上，采用自适应谱线增强器技术，来改善信号的分数阶Fourier变换的输出信噪比。但是，该方法增大了算法的运算复杂性，而且，当信噪比较低时，自适应谱线增强器也无法分离LFM信号与噪声，这样就无法改善输出信噪比。

针对分数阶Fourier域的微弱LFM信号检测问题，本文推导了离散分数阶Fourier变换计算条件下，LFM信号的输出信噪比的表达式[10-11]，得出信号的输出信噪比由信号的输入信噪比和采样点数决定。本文提出一种通过提高信号采样频率或者对已采样信号作拟合插值的方法，在离散分数阶Fourier变换计算条件下，改善信号的输出信噪比，提高分数阶Fourier变换对微弱LFM信号的检测能力。

1 分数阶Fourier变换

信号x(t)的FRFT定义式为：

FRFT的变换核Kα(t,u)为：

Xp(u)的逆变换为：

由式（3）可以看出，信号x(t)由一组权系数为Xp(u)的正交基函数K-α(t,u)所表征。

由于实际应用中，大多采用数字信号处理方式，本文讨论离散分数阶Fourier变换计算条件下，微弱LFM信号的检测。对于离散分数阶Fourier变换的快速算法，在计算之前要求对信号进行量纲归一化[12]。量纲归一化方法为：假定连续信号x(t)在时间轴和频

率轴上都是紧支撑的，时域区间为[-Δt/2,Δt/2]，频域区间为[-Δf/2,Δf/2]，则信号的时宽带宽积为N=ΔtΔf。由于时间和频率的量纲不同，为了分数阶Fourier变换计算方便，要将时间和频率都转换成量纲为一的域。引入一个具有时间量纲的因子s=(Δt/Δf)1/2，并令x=t/s，v=fs。则新坐标系(x,v)实现了量纲归一化。在新坐标系内，时间和频率的限定区间均为[-Δx/2,Δx/2]，其中，Δx=(Δt/Δf)1/2。信号的采样间隔为1/Δx，采样点数为N=Δx2。因为在实际中能够获得的只有信号的观测时间Td和采样频率fs，所以令Δt=Td，Δf=fs[7]。

在满足上述条件下，离散分数阶Fourier变换快速算法的表达式为：

2 LFM信号尖峰在平面上的位置及高度

设有限长单分量LFM信号x(t)模型如下：

式（5）中：f0为初始频率；μ为调频率；观测时间为。

该信号的时频分布如图1所示。

在图1中，粗黑线表示LFM信号的时频分布线，β（β∈(0,π/2)或β∈(π/2,π)）为时频线与t轴的夹角，本文取β∈(0,π/2)。u⊥v坐标系表示时频轴以角α逆时针旋转，本文取α∈[0,π]，即p∈[0,2]，α0=p0π/2为“最佳”分数阶数对应的旋转角。umax为时频线与“最佳”分数阶域u轴的交点。

式（6）说明，LFM信号的“最佳”分数阶旋转角由该信号的调频率决定。当旋转角为信号的“最佳”分数阶旋转角α0时，信号频谱聚集于点umax上，形成尖峰，该点即为频谱最大值所对应的坐标：

由式（6）～（8）可知，LFM信号在平面（α,u）上的最大值的位置由信号的调频率和初始频率决定，且由最大值点的坐标（α0,umax）估计信号参数值。在离散分数阶Fourier变换计算条件下，因受量纲归一化的影响，在量纲归一化坐标系内，信号尖峰的位置变为[7]：

由文献[8]可知，LFM信号离散分数阶Fourier变换模的最大值为，则。

3 LFM信号离散分数阶Fourier变换的输出信噪比分析

附加高斯白噪声LFM信号的模型为：

式（10）中：v(t)为零均值复高斯白噪声，且噪声方差为；Td为信号的观测时间；信号的采样频率为fs；信号的信噪比为。

如果只有信号x(n)而不存在噪声，则在(α,u)平面上呈现一个尖峰，其峰值位于处，峰值为。对于观测序列r(n)=x(n)+v(n)，其峰值在处发生随机起伏，并有一定的起伏方差。输出信噪比为：

联立式（12）和（13）可得：

将式（14）代入式（11）得：

式（15）说明LFM信号的分数阶Fourier变换输出信噪比只与输入信噪比和信号的采样点数有关。其中，输入信噪比由信号的能量与雷达侦察接收机的内部热噪声的能量决定。当4SNR2N≫1时，式（15）可近似表示为SNRout=SNR2N，即增大信号的采样点数N可以改善输出信噪比。因此，当4SNR2N≫1时，可以通过增加信号的采样点数，提高信号的分数阶Fourier变换输出信噪比。对于LFM信号脉冲压缩雷达，对信号的有效采集时间为信号的脉冲宽度，一般为一固定值，无法延长信号的观测时间，只能采用提高信号采样频率的方法来增加信号的采样点数。但是，信号的采样频率受到数据采集硬件等条件的限制，不可能无限增大。当信号采样频率无法提高时，可以采用对已采样信号进行插值处理的方法，增加信号的采样点数，来提高信号的输出信噪比。最终，实现分数阶Fourier变换对微弱LFM信号的检测。

4 仿真验证

为了验证上面的结论，用一组仿真数据来说明。仿真信号样本为单个LFM信号加高斯白噪声，形式同式（10），其中，LFM信号的初始频率为f0=20 MHz，调频率为μ=50 MHz/μs，观测时间Td=1 μs。图2是信号在不同信噪比和采样频率下的分数阶Fourier变换模平方的三维分布图。

由图2 a）、b）的仿真结果可以看出，随着信噪比的降低，LFM信号逐渐被噪声淹没，无法被检测到，但是当采样频率fs增加1倍，采样点数增加1倍时，在离散分数阶Fourier变换计算条件下，LFM信号的输出信噪比明显提高，LFM信号可被有效检测，如图2 c）所示。当信号的采样频率fs保持不变，采用拟合插值方法，增加信号的采样点数，随着插值倍数的增加，在离散分数阶Fourier变换计算条件下，LFM信号的输出信噪比不断增加，并且比较明显，直至LFM信号可被有效检测，如图2 d）～f）所示。仿真表明，通过对已采样信号进行拟合插值处理，在离散分数阶Fourier变换计算条件下，可以显著提高LFM信号的输出信噪比，改善侦察系统对低截获概率信号的侦察能力。

5 结论

本文研究了分数阶Fourier变换对微弱LFM信号的检测。通过分析LFM信号在离散分数阶Fourier变换计算条件下的输出信噪比，得出了当观测信号的采样点数较大时，分数阶Fourier变换可有效提高LFM信号的输出信噪比。利用这一结论，本文提出采用增加采样频率fs，或者保持采样频率fs不变，采取对已采样信号进行拟合插值的方法，在离散分数阶Fourier变换计算条件下，改善LFM信号的输出信噪比，提高侦察系统对微弱LFM信号的检测能力。同样，该方法也可以推广应用于具有线性调频特性的其他信号，如文献[13-16]对几种典型相位编码信号和对称三角调频连续波信号的检测，对于提高侦察系统对具有线性调频特性的低截获概率信号有一定实用价值。

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