一道求三角函数值增解的探究

筅江苏省仪征市第二中学沈永明周国梅

一道求三角函数值增解的探究

筅江苏省仪征市第二中学沈永明周国梅

一、问题提出

西方现代科学和哲学奠基人笛卡尔主张对每一件事情进行怀疑，去审视知识内部的缺陷和不足，这种“回头审视”的“笛卡尔怀疑”学习模式值得我们重视，在数学问题解决过程中，发现一道题的运算过程往往容易的，问题在于如何去掌握问题的必需条件，由于大部分的数学试题往往不会全部给出所有条件，经常隐藏着一些间接不明显条件.在三角函数这一章中，对于不等式取值范围题中常涉及到隐藏的角度关系，边之间的关系，或边角间的关系，忽视这些“隐形”条件，就会出现错解或漏解现象，下面就一道求三角函数值产生的增根进行探究性教学.

二、题目呈现

本题主要考查三角形中已知三角函数值求三角函数值问题，难度不大，但第（2）问很多同学都出错，出错的主要原因是没有挖掘出题设中的隐含条件，出现了增解.本文对该题从增解到正解进行探究和反思，仅供大家参考.

三、反思探究

通过产生增解过程的展示，让学生观察并思考错误点，分析并探究错误源，以此提高反思纠正的针对性和习题讲解的有效性.习题是训练学生思维的载体，通过解题的反思调动学生的探究热情，通过解题的反思优化学生的思维品质.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=，或cosC=

反思1：此题出现了两个答案.两个答案都正确吗？用什么方法检验呢？检验的切入点又是什么呢？通过设问引导学生思考和反思.在△ABC中，由题设条件容易判断B为锐角，但很难判断A是锐角还是钝角，所以导致了增解.此题应该从所给角的三角函数值入手，求出角的范围，再利用内角和定理便可消除增解.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=.

反思2：很容易判断B为锐角，若A为锐角，则满足题意；若A为钝角，则有可能出现A+B≥π，那么sinC≤0，就会不满足题意了，于是只要验证sinC的正负即可.判断第三个角的正弦值的符号，操作方便，判断明了，确实是一种好方法，应引导学生体会和应用.

所以cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=.

反思3：由题设条件易知B为锐角，但A不确定.在三角形中，根据“大边对大角”的性质并结合沟通边角关系的正弦定理，很容易判断a

反思4：人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法，但有时从问题的相反面深入地进行探索，让思维向对立面的方向发展，即“逆向思维”，也会给解题带来“柳暗花明”的效果.

由以上分析可知，学生的错误在于受思维定式的干扰，没有挖掘题中的隐含条件，因此导致解题的错误.这道题是以相似题组出现的，考查学生解题的理解辨析能力，通过相似题组的求解，加强学生进行“创造性”思维能力解题的培养.

四、结束语

要进行纠错分析须坚持的基本态度：（1）解题错误的产生总有其内在的合理性，解题分析首先要对合理成分给予充分的理解.（2）要通过反例或启发等途径暴露矛盾，引发当事者自我反省.（3）要正确指出错误的地方，具体分析错误的性质.（4）作为对错解的对比、补救或纠正，给出正确解法是绝对必要的.我们教师在平时的教学中，要充分相信学生，教学中要多给一点学生自由思考的时间，教师不能只按照自己事先想好的思路来教学，否则就会限制学生的思维，强扭学生的思维，题目刚出来就先进行提示或分析，那样做会扼杀学生的自主思维能力，剥夺学生的自由创造空间.在学生还没来得及思考的时候，老师硬是用自己固定的思路框定他们的头脑，使他们服从于已有的模式，这对他们思维能力的形成是个不小的打击.离开了学生的“自主活动”、“智力参与”、“个人体验”就没有真正的学习了.把课堂还给学生，引发学生积极思维，让每位学生在数学思维的世界里自由地翱翔，向习题课教学要效益，通过问题解决，促进学生对数学知识的理解，让每位学生主动、积极地参与教学.当然，要做到这点，首先教师对习题的本身要有深入的研究，其次，对学生的课堂参与要给予足够的激励和引导.把课堂还给学生，注意倾听他们的声音，点燃他们的思维之火.