三角函数学习的几点建议

田炜歌

吉林省长春市第七中学

三角函数学习的几点建议

田炜歌

吉林省长春市第七中学

三角函数是高中数学的重要组成模块，在高考中几乎是决定成败的知识点，在学生未来的大学学习中也是理解周期性的基础。但是，很多同学们在学习三角函数部分知识时，常常感觉吃力。这是为什么呢？

三角函数在知识考察难度上看，相比导数和圆锥曲线的考察难度并不是难点，一般都是小题或第一大题。但是从知识范围上看，三角函数知识在高中教材中占的笔墨很多——共有70页，而与三角函数密切相关的三角变换、解三角形模块，在高考复习中往往都集中起来与三角函数知识一起复习，所占篇幅就更多了，这就说明三角函数知识所包含的小知识点多而杂。学生在复习这部分知识时，往往容易混淆基本概念，用错公式，理解失误。甚至很多同学认为只要把公式背下来，能不能答对都靠运气。

数学是理性的，数学方法作为解决问题基本方法已经渗透到生活中的方方面面。只靠蒙猜来解题显然是违背数学思维的，那么，怎么能学好三角函数知识在高考中致胜呢？以下的几点经验与广大师生分享。

一、透彻理解三角函数相关概念

数学中的概念都是从实际中抽象而来，并且应用于解决更复杂的问题。在三角函数部分，需要学习两个基本概念：一个是角的概念推广，一个是三角函数的重新定义。这两者的学习都可以比照初中知识分析理解。让同学们分析其中的变化，来感受新定义的不同之处。

角的定义的变化就是在为三角函数最具代表的性质——周期性做铺垫。同学们在解答三角函数的题型时，常常忘记三角函数的周期性而导致出错，如果在角的推广学习是就能理解记忆周期性，那么，在高考中将会避免这样的失误。

在三角函数的定义中，初中时用直角三角形定义，高中是用单位圆与角的终边的交点坐标来定义的，在这个定义中，高中三角函数知识的复杂性就体现的很明显。在求任意角的三角函数值时，往往因为概念理解不到位，使解题过程复杂化。其实在这一部分学习时，有一个常用概念往往被同学们忽视——三角函数线。三角函数线定义在教材中位置不显，但在理解三角函数上的作用与三角函数定义是一样的，而且，由于三角函数线具有图形特征，在解决问题时更容易被使用。例如，诱导公式的发现和三角函数图象与性质的发现都是由三角函数线来解决的。所以在学习高中三角函数定义时，笔者认为同学们应该同时理解两个定义——交点坐标定义与三角函数线定义。

二、学会使用合适的三角公式解决三角问题

在三角部分的公式很多——同角三角函数基本关系、六组诱导公式、两角和差公式、二倍角公式以及正（余）弦定理，在解题中还常用一些导出的公式，例如：半角公式、辅助角公式。常常让同学们头昏眼花，不知何去何从。这里给大家提供一个思路，首先公式不是背的越多越好，要抓住每一个公式是怎么来的，同时要知道公式是做什么用的；其次使用公式之前要观察所求与已知的联系。

同角三角函数公式应用时，所求角与已知角是同一个角，在现阶段只研究一个角的正弦值、余弦值、正切值之间的关系。所涉及的常见题型为：第一已知正弦值、余弦值、正切值中的一个值求其他的值；第二将给定的包含多个三角函数值的式子化简求值。公式的作用主要就是求值和化简。

同样的，六组诱导公式、两角和差公式、二倍角公式的作用也是求值和化简，但是区别在于所求角与已知角的关系：所求角与已知角的差（和）是90°或180°，常常使用诱导公式，所求角与已知角的和（差）是特殊角的题常常使用和差公式，所求角与已知角有二倍关系常常使用二倍角公式。这其中最常用的是和差公式。半角公式是二倍角公式的逆用，辅助角公式是和差公式的逆用。

最后是正余弦定理，其作用在于转化边角关系，在解题时，将角都化边或者边都化角是基本思想。此外，要找清楚什么样的三角形可以解，什么条件的三角形会出现多个解，这些最基本方法。在教材中都有类似的例题。不要把精力放在复杂题型上，应该多关注基本方法，不要做很多题，而是要观察题与题之间的联系，观察相同点，找出不同的试题中不变的东西，培养学生的数学思想。

三、从周期性上理解三角函数的图象与性质的变化

三角函数最有代表的性质就是周期性，如果将三角函数的图像与性质列成表格，会占很大篇幅，多数教辅书籍上都会这样去列表，但同学们在记忆使用时，总是会感觉混乱，每一个小表格中写的公式都是很相似的一长串，死记硬背很容易出错，单调区间、对称轴等等性质的书写方式也不唯一。所以，在学习或复习图象与性质时，应重点关注它的周期性，不要只看[0,2π]一个周期区间的图象，要结合前一个或后一个周期区间的图象，来观察记忆性质。要知道单调区间、最值、对称轴、对称中心等，都是周期性出现的。

四、融会贯通提倡一题多解

一题多解是提高兴趣与数学能力的重要途径，在数学的学习中，每个人都有其与众不同的思维，在高中数学中，很多知识模块都可以和三角函数知识有联系，例如不等式、平面向量、解析几何等。三角函数所具有的灵活性会使问题得到多种解答，尝试对一个试题找到多种解法，比多做试题只死记硬背一种解法要有效的多。

以上是笔者对三角知识学习的一些建议，希望对同学们的学习和教师们的讲授有所帮助。