复习教学中练习讲评的有效性探索

☉江苏省梅村高级中学 范永明

复习教学中练习讲评的有效性探索

☉江苏省梅村高级中学 范永明

一、问题的提出

数学练习讲评是数学教学必不可少的工作，而且数学学科的特点决定了练习讲评是必不可少的．从学生反馈中，教师可以发现易错问题所在．但是如何有效地讲评练习却一直是数学教学研究的重要问题之一．单墫教授谈到中学数学教学时指出：讲评中学数学问题要大气，要以所学基本知识为载体发散辐射，注重对数学问题本质的思考和探究，不要过于追求枝节，从问题所反映的数学本质去发展学生的思维和能力．

二、讲评的原则

1.针对性

笔者以为，这里的针对性主要针对两个方面：第一是练习的讲评、试卷的分析自然必须针对所授课学生，要适合授课学情为首要条件；第二是针对学生所犯共性错误的深入思考，不必面向所有问题，要做到共性错误的研究是讲评的关键．

2.互动性

练习讲评应体现教师主导，师生共同参与的原则．不少的课堂练习讲评，往往是教师唱独角戏，教师一个人从头讲到尾，这种练习讲评的效果可想而知．有教学经验的教师都知道，课堂效率的好坏不在于教师讲评多少时间，更要学会放手学生，从讲评中提高有效的思维训练、提供足够的思想方法，学生的恰当参与是提高效率的关键．这种学生参与的讲评往往从互动性角度来说，是合乎课程改革的方向．

3.启发性

思维的启发才是练习讲评的主要目的，不要为了讲评试题的技巧而大做文章，这是练习讲评的大忌．教师要从积极启发学生思维的角度出发，讲评不应只是就题论题而是要高屋建瓴，要讲解习题的内在规律、知识的纵横联系．启发学生积极思考，建立知识网络、形成数学思想、提高思维能力．

三、提高练习讲评有效性的探索

1.一题多解拓展思维

练习讲评时，教师要善于挖掘值得研究的问题，并从多个角度思考学生为什么解不好这样的问题？一题多解是比较好的策略．这样既对共性问题进行了辩解，也深入了挖掘了多数学生犯错的原因，并将不同的思路进行了梳理、开拓，有助于学生思维的发展、思维品质的提高．

问题1若实数x，y满足x2+y2=1，则（1-xy）（1+xy）的最小值是________．

分析：由题目的已知条件大多数学生能够给出考虑结合均值不等式求解，从而得到思路1（均值不等式法）．

解法1：因为（1-xy）（1+xy）=1-x2y2≥1当且仅当，（1-xy）（1+xy）的最小值是

教师可以启发学生从x2+y2=1的结构特征入手，思考其他解法．有学生尝试三角换元得到思路2（三角换元法）．

解法2：因为x2+y2=1，所以设x=cosθ，y=sinθ，所以（1-xy）（1+xy）=1-x2y2=1，故（1-xy）（1+xy）的最小值是

教师肯定学生的以上解法继续引导学生：所求表达式中有两个变量，能否通过减少变量转化为一个变量的函数求最值？这时学生也比较有积极性，思考后给出了思路3（函数法）．

解法3：因为x2+y2=1，所以y2=1-x2，所以（1-xy）（1+

又因为0≤x2≤1，所以时，（*）式有最小值

共同讨论出以上常规解法后，有学生又给出了思路4（方程法）．

解法4：设z=（1-xy）（1+xy）=1-x2y2，当x2=0时，（1-xy）·（1+xy）=1，当x2≠0时，y代入x2+y2=1得，问题转化为关于x2的一元二次方程x4-x2+1-z=0在（0，1］有解的问题，通过求解可得（1-xy）（1+xy）的最小值是

通过以上几种解法学生能够掌握求最值问题的一般思路，开阔了学生的思维．过多过密的解题训练，制约学生思维能力的发展、基本技能的形成，同时使学生更加疲劳、厌倦学习．通过一题多解的教学设计，从不同学生思维的角度入手，既解决了有些学生有想法行不通的可能，又让其他学生打通了多种角度思考问题的可能，这种一题多解型的练习讲评是符合当下数学教学的，是综合性知识能力的体现、是学生知识整合的贯通，符合现阶段练习讲评的要求．

2.一题多变触类旁通

变式教学是复习教学常常采用的重要策略，这也是中国数学教学多年流传下的传统．从发现的问题中，将知识运用的体系从一个问题拓展到一类问题、几类问题使讲评的效果大大增加，提高学生对知识融会贯通的可能性，促进自身知识体系网络的建立．

问题2已知函数f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x其中k为实数，对于任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x），求k的取值范围．

变式1：对于任意的x1∈［-3，3］，任意的x2∈［-3，3］都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围．

变式2：对于任意的x1∈［-3，3］，都存在x2∈［-3，3］使得f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围．

变式3：对于任意的x1∈［-3，3］，都存在x2∈［-3，3］使得f（x1）=g（x2）成立，求k的取值范围．

分析：问题2可以转化为f（x）-g（x）≤0在x∈［-3，3］恒成立问题，通过构造函数h（x）=f（x）-g（x），等价于h（x）max≤0；变式1等价于f（x）max≤g（x）min，从而转化为求两个函数的最值问题；变式2等价于f（x）max≤g（x）max；变式3可以转化为两个函数值域关系的问题，即要同时满足f（x）max≤g（x）max和f（x）min≥g（x）min．

单变量恒成立问题是中学恒成立问题的基础，练习中以问题2为例进行了适当的点播，其次教师给出三种不同的变式，很明显从单变量恒成立上升到双变量恒成立的问题、存在性问题等，从教学来看，通过一个合适的问题作为引导，将中学数学中较为常见的多变量恒成立、存在性问题引入，大大增加了复习教学的效率，强化了基本知识的处理和转化思想的渗透．

3．合理推广追根溯源

练习讲评需要思考问题的本质，需要重塑知识的理解，教师对于问题要恰当发挥，研究问题的延伸、追求问题根源，形成知识间牢固的网络．

（1）求椭圆Ω的方程；

（2）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），则切线方程分别为1．又两切线均过点M，即，即点A，B的坐标都适合方程而两点确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点C（1，0）．

探究1所求定点（1，0）恰是椭圆的右焦点，直线x= 4恰是椭圆的右准线．那么这是一个巧合吗？（提出问题，激发学生的学习兴趣和求知欲）

可以进一步进行探究，学生发现其结论对于任意椭圆都成立．

推广：对于其他圆锥曲线上述结论成立吗？（成立，类似论证可自行操作）

留给学生自主探索时间，分组讨论，研究对于抛物线和双曲线上述结论是否成立．通过小组交流讨论，可以证明上述结论对于双曲线和抛物线也成立，所以可以推广到一般情形．通过以上的练习讲评不仅可以得到知识结论，更重要的是可以培养学生提出问题、分析问题和解决问题的思维习惯．让这种步骤贯穿于问题解决的始终，从而形成一种良好的解题品质．

总之，在复习教学中，要让练习讲评来得有效和高效，是值得一线教师深深思考的问题．从现阶段教学现状来看，我们更多的时候是不断在解决问题、训练熟练程度，却对于问题本身、问题背后的思考显得尤为稀少，这样的教学久而久之只能演化为模式化解题的误区，没有办法让学生静下心思考知识背后的数学本质．笔者非常认可罗增儒教授所说的：你没有重点的分析、面面俱到、就题论题，学生很多问题都没有听进去，你要是合理梳理、有效拔高，学生听到的恰恰是练习中的重点，正是讲评中那些有效的闪光点才让学生获得了更多的收获．

因此笔者建议练习讲评遵从文中所述原则，进行多角度的思考．从复习教学的效果来看，一题多解、一题多变是最常用的练习讲评策略，寻根溯源也是不错的一个有效策略，除此之外还可以从反思错误入手、注重思想角度入手等等，这些都是试卷练习讲评的有效策略．限于篇幅，未能一一展开其他方面，恳请读者补充．

1．魏诗明．“试卷讲评课”授课技艺谈［J］．数学教学研究，2013（10）．

2．章恒群．让试卷讲评课成为一潭活水［J］．数学教学，2014（6）．

3．王淑芳．试卷讲评的有效性初探［J］．中学数学研究，2015（6）．