浅析数学教学中的化归思想

曹太忠

摘 要：化归思想一直受到广大数学教师的高度重视，几乎渗透整个数学教学的方方面面。化归方法在数学教学中的应用十分广泛，学好数学必须学会化归方法解题.掌握化归思想对数学学习很有帮助.

关键词：化归;解题;作用

在中小学数学教材中蕴涵着许多重要的数学思想方法，其中化归思想方法是其中之一，化归方法在解决数学问题中很有帮助，已经成为一种解题的基本策略。所以理解化归思想和方法是数学教学中举足轻重。

化归的原则一般来说，就是把没有学过的转化成已知学过的。比如，把简单的、具体的、特殊的、熟悉的知识作为基础，把复杂的化为简单的，将未知的化为已知的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，是的问题换一个面目，从而求解。

一般说来，化归的策略就是由把一个问题换一个角度来思考。比如未知到已知策略、把特殊换成一般、由容易推广到困难、正面不行就看反面、立体几何难了化为平面问题、一般图形退化到特殊图形，在解析几何中，就是把几何问题和代数问题相互转化，也就是数与形的转化，这样，常会出现柳暗花明又一村。化归法是一种分析问题解决问题的基本思想方法.在数学解题时通常的作法是：将一个陌生的问题通过分解、变形、代换等多种方式，将它转化为一个熟悉的较为简单的问题，从而求出解答.如一元一次方程、因式分解简单，学了一元二次方程我们就可以通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的.遇到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次和一元二次方程来解的.又如平面几何中三角形的面积、内角和计算比较熟悉，那么多边形的面积、内角和的计算，就通过分割、合并为若干个三角形来加以解决的.先学代数问题，后面的几何问题时就可以向它转化，后来又可以把立体问题化归为平面问题，任意角的三角函数问题转化为简单的锐角三角函数问题来表示的例子就更多了.再如在高中，学了坐标变换，我们就可以把一般圆锥曲线化为已经熟悉的最简单的圆锥曲线，难度就就小多了.化归思想是在数学分析中也是一种重要的工具，比如，变量代换化归法，如等价无穷小代换、换元积分法、常数变易法等就是一种转化。对于正面和反面的相互转化，有时候，顺藤摸瓜，直面问题，从现有条件入手，可能会解题繁琐，甚至无法找到解题思路.这时候，可以考虑换一个角度，反面求解，会豁然开朗.

例：已知函数f（M）=4M2-zM+1在（0，1）内至少有一个零点，试求实数z 的取值范围.

方法一、设f（M）=4M2-zM+1，对称轴是M=z/8，注意到f（0）=1>0，所以对称轴一定是在y轴的右边.（1）有Δ=z2-16f（0）>0z≤-4或z≥4，z∈R.z≤-4或z≥4，此时4≤z≤8;（2）当z/8≥1时，有f（1）<0 5-z<0 z>5，此时有z≥8. 综合（1）（2）得实数的取值范围是[4，+∞）.

方法二、当函数f（M）=4M2-zM+1在（0，1）内没有零点时，4M2-zM+1=0 在（0，1）内没有实数根，这样，思路开阔，很容易求得满足题设的实数的取值范围是[4，+∞）

由以上两种解法，很明显可以看出第二种解法，也就是换一种思路，从反面求解更加简单，第一种解法要求数形结合与分类讨论相结合，较第二种稍难.所以说化归中的正反互换可以为我们的解题带来方便.

数学思想方法是数学的精髓，学好数学思想方法，重在思考，有时学生在解题上的困难在于没有掌握方法。例如，如果用金属丝围成底面为正方形面积为50平方米，高为4米的长方体，共需要多少铁丝？显然，这是一个实际的立体几何的问题，经过分析，会发现有简单的方法，就是将这个长方体看成它是由上下两个正方形面加四个高组成的，于是就的到需要的长度。再想想，我们发现将这个长方体展开为一个平面的形式，把它化归到已经熟悉的问题，画出图形，问题非常直观，思路更加明晰，计算更加简单。

化归思想是数学解题的重要思想方法，我们要灵活地掌握、运用它，才能更好地学好数学，提高数学成绩.虽然该方法被广泛地使用，但不能一味把所有数学问题都通过化归来解决.因此，我们不能只停留在问题本身的阶段，而必须要不断比较，不断拓展，才能体会化归思想的精髓所在。

参考文献：

[1]张家铭.《中学数学解题方法》，重庆教育出版社.1996.2.

[2]邹友东.《数学分析思想和方法》，广东教育出版社.1999.3.