函数应用：分清模型解决问题

霍彩霞

函数应用题一直是中考命题的重点内容，成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题是中考命题的热点素材.下面结合2016年中考试题，对中考中函数应用题进行分类展示.

一、图像信息型

例1 （2016·新疆）小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店，在书店看了10分钟的书后，用15分钟返回家，下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图像的是（ ）.

【分析】观察图像可知父亲散步的过程分为三段，即出去20分钟，看报10分钟，返回15分钟，再考察这三段距离变化的情况.

【解析】出去20分钟，离家的距离是逐渐增大的，图像呈上升的趋势；看报10分钟，离家的距离没有发生变化，此时图像与横轴平行；返回15分钟，离家的距离是逐渐缩小的，图像呈下降的趋势；且回家的时间比离家的时间少，下降的图像陡，故选择B.

【解后反思】对于用图像描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①看图像的升降趋势：当函数随着自变量的增加而增加时，图像呈上升趋势，反之，呈下降趋势；函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值，图像与横轴平行；②看图像的曲直：函数随着自变量的变化而均匀变化的，图像是直线；函数随着自变量的变化而不均匀变化的，图像是曲线；③两个阶段的图像都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图像与x轴的夹角就越大；④要对图像及其数量关系进行分析，准确确定各个分段中的函数关系，抓住图像中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.

二、一次函数型

例2 （2016·浙江湖州）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.

（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年底到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

（2）若该市某社区今年准备新建一个养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.

①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；

②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？

【分析】（1）设平均年增长率为x，根据“2015年的床位数=2013年的床位数×（1+增长率）2”列方程求解.（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），根据“可提供的床位数=单人间数×1+双人间数×2+三人间数×3”列方程求解；②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数×1+双人间数×2+三人间数×3”列函数关系式，得出结论.

解：（1）设平均年增长率为x，由题得方程：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意舍去）.

答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.

（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100-3t，由题意得：t+4t+3（100-3t）=200，解得t=25；②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y=t+4t+3（100-3t）=-4t+300（10≤t≤30），∵k=-4<0，∴y随t的增大而减小.当t=10时，y的最大值为260；当t=30时，y的最小值为180.

答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个.

【解后反思】找出表示题目全部含义的数量关系，得到函数关系式是解题的关键，然后根据实际问题的特点，确定出自变量的取值范围，再在自变量范围内求函数的最大（小）值.

三、反比例函数型

例3 （2016·山东德州）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：

（1）观察表中数据，x、y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；

（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？

【分析】（1）由表中数据得出xy=6000，即可得出结果；（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验.

解：（1）由表中数据得：xy=6000，

∴y=[6000x]，∴y是x的反比例函数，故所求函数关系式为y=[6000x]；

（2）由题意得：（x-120）y=3000，把y=[6000x]代入得（x-120）·[6000x]=3000，解得x=240，经检验，x=240是原方程的根.

答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元.

【解后反思】本题考查了反比例函数的应用，列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键.

四、二次函数型

例4 （2016·湖北黄石）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图1所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数.

图中曲线对应的函数解析式为y=[ax2 0≤x≤30，bx-902+n 30≤x≤90，]10：00之后来的游客较少可忽略不计.

（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；

（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待.从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟？

【分析】（1）将点A（30，300）代入y=ax2求出a；将点A（30，300）、B（90，700）代入y=b（x-90）2+n求出b、n.（2）馆外游客最多等待的时间由三部分组成：①10：00前人数达到684人的等待时间（利用y=b（x-90）2+n的图像求解）；②从10：00到10：30的等待时间；③从684人减少到624人等待的时间（利用“平均每分钟离馆4人”求解）.

解：（1）略解，

y=[13x2 0≤x≤30，-19x-902+700 30≤x≤90.]

（2）当y=684时，代入y=[-19]（x-90）2+700，得[-19]（x-90）2+700=684，解得x1=78，x2=102（不合题意，舍去），∴90-78=12.

又[684-6244]=15，∴馆外游客最多等待的时间为12+30+15=57（分钟）.

答：馆外游客最多等待57分钟.

【解后反思】（1）求二次函数解析式，表达式中有几个待定系数，就需要几个点代入函数解析式，然后解方程组求出待定系数，从而求出函数解析式；（2）解答分段的二次函数实际问题，先要根据函数值（或自变量的取值范围）选用相应的二次函数解析式，再利用函数的性质解决相关的问题.

五、函数、方程和不等式综合型

例5 （2016·四川内江）某学校课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图2所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；

（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由；

（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围.

【分析】（1）根据矩形面积=长×宽，列出方程，解一元二次方程可求得x；（2）由8≤30-2x≤18，得6≤x≤11，分情况讨论最大值和最小值；（3）列出一元二次不等式并解之即可.

解：（1）根据题意，得x（30-2x）=72，整理，得2x2-30x+72=0，解得x1=3，x2=12.

由x=3得30-2x=24>18，∴舍去；由x=12得30-2x=6，∴垂直于墙的一边的长为12米.

（2）若8≤30-2x≤18，则6≤x≤11.由题意有x（30-2x）=-2x2+30x=-2[x-152][2]+[2252]，∴当x=[152]时，苗圃园的面积有最大值为[2252]（平方米）；当x=11时，苗圃园的面积有最小值，最小值为x（30-2x）=88（平方米）.

（3）6≤x≤10.

【解后反思】本题考查二次函数、一元二次方程与不等式的应用，难点是一元二次不等式的解法，方法是先求出对应的一元二次方程的解，再确定一元二次不等式的解集.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）