陈松良
(贵州师范学院数学与计算机科学学院,贵州贵阳550018)
关于216阶群的完全分类
陈松良
(贵州师范学院数学与计算机科学学院,贵州贵阳550018)
设G为23·33阶(即216阶)群,本文研究G的同构分类.利用有限群的局部分析法,证明G共有177种互不同构的类型,并获得了G的全部构造.
有限群;同构分类;群的构造
定理1.1设G为23·33阶(即216阶)群,那么G共有177种互不同构的类型,其中
1)当Sylow子群都正规时,G恰有25个彼此不同构的类型;
2)当Sylow 2-子群正规但Sylow 3-子群不正规时,G恰有14个彼此不同构的类型;
3)当Sylow 2-子群不正规但Sylow 3-子群正规时,G恰有120个彼此不同构的类型;
4)当Sylow子群都不正规时,G恰有18个彼此不同构的类型.
以下恒设G是216阶群,P是G的一个Sylow 3-子群,Q是G的一个Sylow 2-子群,我们用|G|,|g|分别表示有限群G及其元素g的阶,用Cn表示n阶循环群,用Epn表示pn阶初等交换群,用gx表示x-1gx,其他未说明的符号见文献[4].由文[5]之定理7.1.1,P必为下列5种类型之一:
而Q也只有5种不同构的类型:
由于定理的证明较长,下面我们分为几个引理来叙述.
引理2.1如果216阶群G的Sylow子群都是正规子群,那么G恰有25个互不同构的类型,其构造是:G=Pi×Qj,i,j=1,2,···,5.
引理2.2如果216阶群G的Sylow 2-子群正规但Sylow 3-子群不正规,那么G恰有14个互不同构的类型且它们的构造分别是式(2.1)–(2.14),其中在式(2.1)–(2.7)中|x|=|y|=|z|=2,且〈x,y,z〉E8;而在式(2.8)–(2.14)中|x|=4,x2=y2,xy=x3,且
证这时P非平凡作用在Q上,所以有从而|Aut(Q2)|=8,|Aut(Q3)|=168,|Aut(Q4)|=8,|Aut(Q5)|=24,于是必有或即G的Sylow 2-子群是8阶初等交换群或8阶四元数群.又Aut(Q3)与Aut(Q5)的Sylow 3-子群都是3阶循环群,所以CP(Q)必是P的一个9阶正规子群.
如果CP(Q)是初等交换群,则因为P有唯一的9阶初等交换子群〈a3,b〉,所以必有CP(Q)=〈a3,b〉,从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构,因而G=〈b〉×〈Q,a〉,其构造是
如果CP(Q)是初等交换群,则因为P有唯一的9阶初等交换子群〈a3,b〉,所以必有CP(Q)=〈a3,b〉,从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构,因而G的构造是
如果CP(Q)是初等交换群,则因为P有唯一的9阶初等交换子群〈a3,b〉,所以必有CP(Q)=〈a3,b〉,从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构,因而G=〈b〉×〈Q,a〉,其构造是
如果CP(Q)是初等交换群,则因为P有唯一的9阶初等交换子群〈a3,b〉,所以必有CP(Q)=〈a3,b〉,从而a作用在Q上是Q的一个3阶自同构,因而G的构造是
综上所述,可知引理2.2成立.
引理2.3如果216阶群G的Sylow 2-子群Q不正规但Sylow 3-子群P正规,那么G恰有120个互不同构的类型.其中当Sylow 3-子群是循环群时,G恰有7个互不同构的类型;当Sylow 3-子群是(32,3)型交换群时,G恰有29个互不同构的类型;当Sylow 3-子群是27阶初等交换群时,G恰有52个互不同构的类型;当Sylow 3-子群是(32,3)型非交换群时,G恰有7个互不同构的类型;当Sylow 3-子群是指数为3的非交换群时,G恰有25个互不同构的类型.
证类似于文献[3]之引理2.4–2.8的讨论,可得此引理.
注2.41)文献[3]之引理2.6中(2.65)的证明有误且漏掉了1种构造,正确叙述如下:如果CQ(a),CQ(b),CQ(c)两两不等,但CQ(a)∩CQ(b)=CQ(b)∩CQ(c)=CQ(c)∩CQ(a),则不妨设CQ(a)=〈x,z〉,CQ(b)=〈y,z〉,CQ(c)=〈xy,z〉,于是G有构造
其中
如果CQ(a),CQ(b),CQ(c)中两两不等,且CQ(a)∩CQ(b)CQ(b)∩CQ(c),则不妨设CQ(a)∩CQ(b)=〈y〉,CQ(b)∩CQ(c)=〈z〉,于是CQ(b)=〈y,z〉.又不妨设CQ(a)=〈x,y〉,则CQ(c)∩CQ(a)=〈x〉或〈xy〉.于是CQ(c)=〈x,z〉或CQ(c)=〈xy,z〉.注意到x与xy在CQ(a)中的地位是相同的,所以不妨设CQ(c)=〈x,z〉,从而得G的构造
其中
因此文[3]之引理2.6中应当共有52个互不同构的类型.
2)文献[3]之引理2.8中(2.118)的条件有误,应为“当CQ(a)与CQ(b)中有一个是4阶循环子群而另一个是4阶初等交换子群时”.文[3]之引理2.8中还遗漏了G的一种构造,即
其中
此外,文[3]之引理2.8中(ii)之(2)部分证明有误.构造(2.125)和(2.126)是不存在的,因为在(2)的条件下,Q/CQ(P)只能是4阶循环群,因而y在Q上的作用是平凡的,于是只能得到一种构造
其中
故文[3]之引理2.8中只有25个互不同构的类型.
引理2.5如果216阶群G的Sylow 3-子群P与Sylow 2-子群Q都不正规,那么G恰有18个互不同构的类型.它们的构造分别是式(2.15)–(2.32),其中在式(2.15)–(2.20)中有|x|=|y|=|z|=2;在式(2.22)–(2.32)中有|x|=|y|=|z|=2,xz=x,yz=xy;在式(2.15),(2.16),(2.19),(2.23)–(2.26),(2.30)中有|a|=9,|b|=3;在式(2.17),(2.18),(2.20), (2.21),(2.27)–(2.29),(2.31),(2.32)中有|a|=|b|=|c|=3.
证由Sylow定理[6]可知,G的Sylow 3-子群的个数是4,于是NG(P)是54阶群,从而易知P在G中的核PG必是9阶群,即O3(G)是9阶群.又G/PG的Sylow 3-子群不正规,所以G/PG同构于一个Sylow 3-子群不正规的24阶群.但Sylow 3-子群不正规的24阶群只有3种不同构的类型:(见文献[5]之定理10.4.22或文献[7]之定理1后的讨论),于是,我们可以作下述讨论.
如果PG为9阶初等交换群〈a3,b〉,则应有G=其中|a|=9,|b|=3,|x|=|y|=|z|=2,ab=a4,ya=z,za=yz,yb=yx=y,zb=zx=z,于是应有ax=a,bx=b-1.但由此就应有a3=[a,b]x=[a,bx]=[a,b-1]=a6,这是不可能的.故此时G只有一种构造(2.19).
若PG是9阶循环群,则G也有两种不同的构造
当cz=c-1时,G的构造是
综上所述,可知引理2.5成立.
由上面的引理2.1–2.3及引理2.5,可知定理1.1成立.
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[5]张远达.有限群构造[M].北京:科学出版社,1982.
[6]徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,1999.
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[8]陈松良,蒋启燕.关于108阶群的完全分类[J].郑州大学学报(理学版),2013,45(1):10–14.
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ON THE STRUCTURES OF FINITE GROUPS OF ORDER 216
CHEN Song-liang
(School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal College,Guiyang 550018,China)
Let G be finite groups of order 216(i.e.,23·33).By means of local analysis of finite groups,we study the isomorphic classifications of G and have showed that G has 177 nonisomorphic types and their structures are all laid out.
finite group;isomorphic classification;structure of group
tion:20B05;20D25;20E34
O152.1
A
0255-7797(2017)01-0185-08
2014-01-13接收日期:2014-09-09
贵州师范学院重点支持学科项目;贵州省自然科学基金资助项目(黔科合J字[2012]2289; [2013]2234).
陈松良(1964–),男,湖南双峰,教授,主要研究方向:代数学及其应用.