三项指数和四次均值的精确计算公式(2)

艾小川,陈华,张四兰

(1.海军工程大学理学院,湖北武汉430033)

(2.湖北工业大学理学院,湖北武汉430068)

(3.华中农业大学理学院,湖北武汉430070)

三项指数和四次均值的精确计算公式(2)

艾小川1,陈华2,张四兰3

(1.海军工程大学理学院,湖北武汉430033)

(2.湖北工业大学理学院,湖北武汉430068)

(3.华中农业大学理学院,湖北武汉430070)

本文进一步深入研究了三项指数和四次均值的计算问题.运用指数和的相关性质并结合求解同余方程组的方法与技巧,利用两种不同的方法获得了两个精确的均值计算公式,揭示了三项指数和的计算与同余方程组解的个数之间的本质联系,推广了已有的结果.

三项指数和;四次均值;转换公式;同余方程组

1 引言

指数和与著名的华林问题有着密切的联系,它在华林问题的主项研究中起着重要的作用.许多著名的学者如华罗庚、Weil、高斯等对指数和的上界估计做出了重要的贡献[1-6].近些年来,指数和高次均值的计算成了这一领域的热点,相关研究成果丰硕[7-11,13-17].

设q,m,s,n,k,t为整数,且q≥3,定义二项指数和与三项指数和如下:

其中e(x)=e2πix,表示对所有满足(a,q)=1的整数a求和.

国内外众多学者对于二项指数和的各种性质做了深入细致的研究,取得了众多的研究成果[7-11,16,17].但是关于三项指数和的各类性质,国内外的相关研究尚不多见.

1972年,Mordel[12]利用三项指数和成功的研究mod p剩余类的有理函数表示.

2012年,陈华等人[13]研究了带Dirichlet特征的三项指数和四次均值的计算公式,并给出了的精确计算公式.

2014年,论文[14]给出了三项指数和的四次均值

在k=2t,(t,p-1)=1,2时的精确计算公式,主要结果如下:

命题1.1设p为素数,则对任意固定的满足条件(n,p)=1的正整数n,有

本文将进一步深入讨论三项指数和四次均值的计算问题,在命题1.1的条件下,给出在(t,p-1)=3,4时的精确计算公式,本文主要结果见定理1.1.此外,本文还将给出命题1.1和定理1.1的一个简化证明方法.

定理1.1设p为奇素数,则对任意固定的满足条件(n,p)=1的正整数n,有

2 引理和定理的证明

首先给出定理证明中需要用到的几个引理.

高校在“爱国”教育上应做到：组织大学生创新创业，参与“挑战杯”和“互联网+”等活动，鼓励学生关注国家的发展，勇于创新创业，推动国家经济社会发展；组织革命歌曲大联唱、诗词大会、成语大会、“成人礼”等教育活动，鼓励学生学习国学，弘扬中华优秀传统文化，把握主观意识形态，分辨认识误区，坚持国家利益高于一切；组织国防安全、大学生入伍等学习教育活动，鼓励学生学习军队的过硬作风，了解军事，积极投身于国防建设，坚决捍卫国家的主权和领土完整。

引理2.1设p≥3,t是正整数,(n,p)=1,则有

其中

证参见文献[14]中的引理3.

引理2.2

证易见的值为如下同余方程组解的个数,

其中2≤a,c≤p-1.

情形1若(t,p-1)=3,则xt≡1(modp)有3个解,分别记为1,其中A2(modp),A3≡1(modp),则(2.1)等价于如下方程组:

情形2若(t,p-1)=4,则xt≡1(modp)有4个解,分别记为±1,±A,其中A2≡-1(modp)所以(2.1)式等价于如下方程组:

此时ct≡At≡1(modp)与条件矛盾,无解;

此时

下面证明定理1.1.

在引理2.1中令(t,p-1)=3,结合引理2.2可得

类似的,在引理2.1中令(t,p-1)=4,结合引理2.2可得

在命题1.1及定理1.1中令t=1,2,3,4,可得如下结论.

推论2.1设p为素数,则对任意固定的满足条件(n,p)=1的正整数n,有

3 定理1.1的另一种证明

这一部分将给出三项指数和的四次均值

在k=2t时的简化证明方法.

当k=2t时,有

上式的计算可归结为求解同余方程组的问题,经分析和计算亦可获得命题1.1及定理1.1中的结果,此处不再展开讨论.

本文进一步深入研究了三项指数和四次均值

的计算问题,获得了k=2t,(k,p-1)=3,4时的精确计算公式,推广了论文[14]中的结果.下一步将用本文提出的方法研究

的计算问题.本文所使用的思想和方法对于四项指数和与更多项指数和也有一定的借鉴作用,但其算法复杂度大大增加.

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RESEARCHING THE RELATION BETWEEN THE THREE-TERM EXPONENTIAL SUMS AND THE SYSTEM OF THE CONGRUENCE EQUATIONS

AI Xiao-chuan1,CHEN Hua2,ZHANG Si-lan3
(1.School of Science,Navy University of Engineering,Wuhan 430033,China)
(2.School of science,Hubei University of Technology,Wuhan 430068,China)
(3.College of Science,Huazhong Agricultural University,Wuhan 430070,China)

In this paper,the computation problem of the fourth power mean of the three-term exponential sums is further studied.By using the properties of exponential sums and various techniques and methods of solving the system of congruence equations,two explicit formulas of mean value are given throughout two different methods.Moreover,the essential relation between the fourth moment and the system of congruence equations is discovered.

three-term exponential sum;fourth power mean;transform formula;the system of congruence equations

tion:11T23;11T24

0156.4

A

0255-7797(2017)01-0177-08

2014-06-27接收日期:2014-11-26

国家自然科学基金(NSFC61502156);海军工程大学自然科学基金(HGDQNSQJJ15001);湖北省自然科学基金(2014CFB189);湖北工业大学博士启动基金(BSQD13051).

艾小川(1978–),女,江苏南京,讲师,主要研究方向:数论与密码学.

陈华.