双曲空间形式中的全脐超曲面与高阶平均曲率

王琪

(贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳550005)

双曲空间形式中的全脐超曲面与高阶平均曲率

王琪

(贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳550005)

本文研究了双曲空间形式中等距浸入的紧致无边超曲面的全脐性质和高阶平均曲率.利用高阶平均曲率积分估计的方法,获得了一个新的定理,改进了这个研究方向上有关的最近结果.

全脐超曲面;高阶平均曲率;双曲空间形式

1 引言和结果

Biven[1]研究了双曲空间形式中的超曲面,得到用高阶平均曲率刻画超曲面全脐性质的曲率条件,即下列定理1.1.

随后,Sung Eun Koh[2]减弱对高阶平均曲率的限制条件,改进文[1]的结果,得到下列定理1.2.

最近,王琪[3]进一步减弱对高阶平均曲率的限制,在外围空间为正曲率空间形式的情形,得到下列定理1.3,对这个研究方向作出进一步的改进.

本文讨论双曲空间形式中的超曲面,在外围空间是双曲空间形式的情形,得到一个与定理1.3类似的定理,即下列定理1.4.

定理1.1[1]设Mn是双曲空间形式Hn+1中紧致无边等距浸入超曲面.若对某个整数r(2≤r≤n)而言,高阶平均曲率Hr-1和Hr在Mn上均为常数,则Mn必是全脐的.

定理1.2[2]设Mn是双曲空间形式Hn+1中紧致无边等距浸入超曲面.若对某个整数r(2≤r≤n),高阶平均曲率Hr-1处处非零且在Mn上为常数,则Mn必是全脐的.

定理1.3[3]设Mn是球面Sn+1(c)(c＞0)中紧致无边的等距浸入超曲面且Mn落在Sn+1(c)的一个开半球内.若存在两个整数使得Hr处处非零且为常数,则Mn必是全脐的.

定理1.4设Mn是双曲空间形式Hn+1中紧致无边等距浸入超曲面.若存在两个整数使得Hr处处非零且为常数,则Mn必是全脐的.

2 准备和引理

设Mn是n维黎曼流形,它等距浸入(n+1)维黎曼流形Nn+1中,即Mn是Nn+1中的超曲面.记Mn的主曲率函数为λi(1≤i≤n),则Mn的第r个高阶平均曲率

定义为[1-3,5-6]

设Hn+1是(n+1)维单连通完备黎曼流形,且有常数截面曲率K≡-1,则Hn+1称为双曲空间形式.本文采用Hn+1的上半空间模型[1-2].

本文需要以下几个引理.

引理2.1[1-2]设Mn是双曲空间形式Hn+1中等距浸入紧致无边超曲面,则Mn必有椭圆点.

引理2.2[1-2]若对某个整数r(1≤r≤n)而言,Hr＞0在Mn上成立,则对一切k=0,1,2,···,r必有Hk＞0在Mn上成立.

引理2.3[1-4]对一切r=1,2,···,n必有

在Mn上处处成立.又对1≤r≤n-1而言,不等式在且仅在脐点处取等号.

引理2.4[1-2]设Mn是双曲空间形式Hn+1中紧致无边等距浸入超曲面.用x表示Mn典型嵌入在Rn+2中的位置向量,η表示Mn的单位法向量场.则对k=1,2,···,n有下列推广的Minkowski积分公式

其中p∈Rn+2为任意固定向量,而dM表示黎曼流形Mn的体积元,〈.,.〉表示Rn+2中的Lorentz内积.

3 定理1.4的证明

首先,无妨设s＜r.

由引理2.1,Mn必有椭圆点,故在该点处Hr和Hs均为正值,从而常数a=是正数.因为假设Hr在Mn上处处非零,从而Hr＞0在Mn上处处成立,于是从引理2.2,对k=0,1,2,···,r有Hk＞0在Mn上处处成立,所以从引理2.3有

由引理2.4,可以写以下两个公式

现在,从(3.4)式和(3.5)式立即写下

注意到(3.1)式,事实上在Mn上恒有

引理2.4的积分公式中的向量p∈Rn+2是可以任意取定的,并且Hn+1是典型嵌入在Rn+2的上半空间中,故可以适当选定p∈Rn+2使得下式成立

至此,由(3.6)、(3.7)和(3.8)式,在Mn上恒有

再由(3.1)式和(3.9)式,在Mn上恒有

最后,从(3.10)式及引理2.3立即知道,Mn是全脐的.

[1]Bivens I.Integral formulas and hypersurfaces in a simply connected space form[J].Proc.Amer. Math.Soc.,1983,88(1):113–118.

[2]Koh Sung-Eun.A characterization of round spheres[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1998,126(12): 3557–3660.

[3]王琪.正曲率空间形式中超曲面的全脐性与高阶平均曲率[J].数学学报,2014,57(1):47–50.

[4]Beckenbach E F,Bellman R.Inequalities[M].Berlin:Spring-Verlag,1971.

[5]韩英波,冯书香.双曲空间Hn+1(-1)中完备超曲面(英文)[J].数学杂志,2013,33(5):10–15.

[6]韩英波,冯书香.双曲空间形式中具有常平均曲率的超曲面(英文)[J].数学杂志,2014,34(4):34–40.

TOTALLY UMBILICAL HYPERSURFACES IN THE HYPERBOLA SPACE FORM AND HIGHER ORDER MEAN CURVATURES

WANG Qi
(School of Mathematics and Information Science,Guiyang University,Guiyang 550005,China)

In this paper,we study the totally umbilical property of hyper-surfaces in the hyperbola space form and higher order mean curvatures.Under a weaker condition on higher mean curvatures,we give a new theorem to improve and generalize some recent results in the research field.

totally umbilical hyper-surface;higher order mean curvature;hyperbola space form

tion:53C20;53C40

O186.17

A

0255-7797(2017)01-0211-04

2014-06-16接收日期:2014-12-02

贵州省科学技术基金资助(黔科合J字[2014]2005);贵州省科学技术基金资助(黔科合J字LKG[2013]31).

王琪(1963–),男,湖南双峰,教授,主要研究方向:微分几何.