一般状态空间马氏链随机泛函的指数矩

屈聪,张水利,2

(1.平顶山学院数学与信息科学学院,河南平顶山467000))

(2.湖北大学数学与统计学院,湖北武汉430062))

一般状态空间马氏链随机泛函的指数矩

屈聪1,张水利1,2

(1.平顶山学院数学与信息科学学院,河南平顶山467000))

(2.湖北大学数学与统计学院,湖北武汉430062))

本文研究了一般状态空间马氏链随机泛函的指数矩.利用最小非负解理论,得到了随机泛函的指数矩是相应方程的最小非负解,推广了可数状态空间马氏链的结果,作为应用,证明了随机泛函的指数矩与漂移条件等价.

马氏链;随机泛函;最小非负解

1 引言及主要结果

马氏过程泛函的矩已有许多学者进行了研究,如王梓坤在文献[1]中研究了连续时间可数状态空间马氏链(即Q过程)的随机积分型泛函的矩;李俊平等在文献[2]中研究了Markov骨架过程随机积分型泛函的分布与矩;来向荣在文献[3]中研究了非齐次生灭过程的积分型泛函;陈柳鑫等在文献[4]中研究了非齐次(H,Q)过程随机积分型泛函的分布与矩.而本文利用文献[5]中最小非负解的一般理论,研究了一般状态空间马氏链的随机泛函的指数矩,作为应用,得到了一般状态空间马氏链的矩条件与漂移条件等价.

设E是局部紧可分度量空间,E是E上的Borel σ代数,P:E×E→[0,1]是转移概率核,Φ={Φn,n≥0}以P为转移核的马氏链.对任意的A∈E,E上的非负实值可测函数V,以及x∈E,记

定义1.1[6]称马氏链Φ={Φn,n≥0}是φ不可约的,若存在σ有限测度φ,当φ(A)＞0,有Px(τA＜∞)＞0,∀x∈E.

注1.2由文献[6]中的命题4.2.2可知若马氏链Φ={Φn,n≥0}是φ不可约的,则一定存在最大不可约概率测度ψ(即对任意其它不可约测度ν,都有ν关于ψ绝对连续).令E+={A∈E:ψ(A)＞0}.

定义1.3[6]称集合A是Harris常返的,若Q(x,A)=Px(ηA=∞)=1,x∈A.称马氏链Φ={Φn,n≥0}是Harris常返的,若马氏链是ψ不可约的,且E+中的每一个集合都是Harris常返的.

如果没有特别说明,总是假设马氏链Φ={Φn,n≥0}是Harris常返的.本文的主要结果是

定理1.4设Φ={Φn,n≥0}是(E,E)上的马氏链,常数r＞1,C∈E+,函数f:E→[0,∞),则随机泛函的指数矩是方程

的最小非负解.

推论1.5随机泛函的指数矩{GC(x,f,r)=是方程

的最小非负解.

应用定理1.4,我们得到了下面的矩条件与漂移条件等价.

定理1.6设Φ={Φn,n≥0}是(E,E)上的马氏链,r＞1,C∈E+,函数f:E→[0,∞),在集合C上有界,则下列两个条件等价

(1)方程

有几乎处处(关于ψ)有限非负解.

注1.7对于连续时间可数状态空间马氏链{Xt,t≥0},B是一个非空有限子集,则集合B的首次返回时的指数矩在集合B上有界等价于从集合B中任一个状态出发,首次返回此状态的指数矩是有限的,即＜∞,j∈B,其中表示马氏链{Xt,t≥0}第一次跳跃时刻.利用此性质,证明了可数状态空间马氏链的漂移条件与矩条件等价(见文[7],§6.6,引理6.4).而一般状态空间马氏链没有类似的性质,本文利用随机泛函的指数矩是相应方程的最小非负解,证明了一般状态空间马氏链的矩条件与漂移条件等价.

2 定义及引理

定义2.1[6]称集合A∈E是满集,若ψ(Ac)=0.称集合A∈E是吸收集,若P(x,A)=1,∀x∈A.

引理2.2[6]设马氏链是ψ不可约的,则每个非空的吸收集都是满集.

引理2.3[6]设马氏链Φ={Φn,n≥0}是Harris常返的,则对任意的x∈E,B∈E+,有Px(ηB=∞)=1,更有Px(τB＜∞)=1.

令A:={A:H→H,A是一个锥射,当fn∈H,fn↑f⇒Afn↑Af}.

定义2.4[5]给定A∈A,g∈H,称f∗为方程

的最小非负解,若f∗满足(2.1)式且对于任何满足(2.1)式的都有

引理2.5[5]方程(2.1)的最小非负解一定存在并且唯一.进一步,最小非负解可以通过下面递推方法构造:令

则当n→∞时,f(n)↑f∗.

引理2.6[5](局部化定理)设U是一个非负可测核,{f∗(x),x∈E}是方程

的最小非负解,则有

引理2.7[5]设A,∈A,g,∈H,满足是方程(2.1)的最小非负解,则方程

设C∈E+,令∀n≥1,则有由引理2.3及单调收敛定理,有

引理2.8沿用上面的记号,∀x∈E,有下面的递推公式

证当n=1时,=min{τC,1}=1,所以

用θ表示通常的漂移算子.注意到,在τC＞1时,有τC=θτC+1,因此

由马氏性,对任意的n≥1,有

3 主要结果的证明

定理1.4的证明令

下面利用归纳法证明,∀n≥1,x∈E,都有

当n=1时,由(2.2)式,有

即n=1时,(3.1)式成立.

即n=k+1时,(3.1)式仍成立.由引理2.5可知,方程(1.1)的最小非负解为

推论1.5的证明由定理1.4及局部化定理(引理2.6)可知结论成立.

定理1.6的证明(1)⇒(2)令

当x∈Cc时,由推论1.5,有

由定理1.4可知

由(3.4),(3.5)式以及函数f在集合C上有界,有

当x∈C时,由定理1.4以及f的非负性,有

由(3.3),(3.6)式以及f的非负性,有

矛盾,因此∀x∈S,都有P(x,Sc)=0,即S是马氏链的吸收集.由∅C⊂S以及引理2.2可知,集合S是满集,即Ψ(S)=1,因此(x)是几乎处处有限的非负函数.由(3.3),(3.7)式可知,是方程(1.2)的几乎处处有限非负解.证毕.

[1]王梓坤.生灭过程与马尔可夫链(第二版)[M].北京:科学出版社,2004.

[2]李俊平,侯振挺.Markov骨架过程积分型泛函的分布与矩及其应用举例[J].应用数学学报,2001, 24(2):277–283.

[3]来向荣.非齐次生灭过程的积分型泛函[J].工程数学学报,1994,11(2):69–75.

[4]陈柳鑫,李俊平,侯振挺.非齐次(H,Q)过程积分型泛函的分布与矩[J].长沙铁道学院学报,2000, 18(3):81–85.

[5]Chen Mufa.From markov chains to non-equilibrium particle systems(2nd ed.)[M].Singapore:World Scientific,2004.

[6]Meyn S P,Tweedie R L.Markov chains and stochastic stability[M].London:Springer-Verlag,1992.

[7]Anderson W J.Continuous-time markov chains:an applications-oriented approach[M].New York: Springer-Verlag,1991.

[8]胡迪鹤.随机过程论:基础,理论,应用[M].武汉:武汉大学出版社,2005.

[9]徐侃,张绍义.Markov耦合与Markov过程的遍历性[J].数学杂志,2001,21(3):315–318.

[10]高振龙,王伟刚,胡迪鹤.随机环境中马氏链转移函数的收敛性[J].数学杂志,2008,28(5):546–550.

THE MOMENTS OF EXPONENTIAL OF STOCHASTIC FUNCTIONAL FOR MARKOV CHAINS ON GENERAL STATE SPACE

QU Cong1,ZHANG Shui-li1,2
(1.Institute of Mathematics and Information Science,Pingdingshan University, Pingdingshan 467000,China)
(2.Institute of Mathematics and Statistics,Hubei University,Wuhan 430062,China)

In this paper,we research the exponential moments of stochastic functional for markov chains on general state space.By using the theory of minimal nonnegative solutions, we obtain the minimal nonnegative solutions to the corresponding equation is the exponential moments of stochastic functional,the results for markov chains on denumerable space are enlarged, as application,the equivalence between the exponential moments of stochastic functional and drift condition,are proved.

Markov chains;stochastic functional;minimal nonnegative solutions

tion:60J05

O211.62

A

0255-7797(2017)01-0145-07

2014-01-21接收日期:2014-10-16

河南省教育厅科学技术研究重点项目资助(14B110038).

屈聪(1981–),女,河南南阳,讲师,研究方向:概率论与数理统计.

张水利.