简化解析几何运算有技巧

刘春雷

一、巧用定义，直奔主题

例1双曲线x24-y25=1上有一点A到左焦点的距离为52，则点A的坐标为.

解析：设点A的坐标为（x1，y1）.由双曲线方程知a=2，b=5，c=3.

常规思路是解方程组x214-y215=1

（x1+3）2+y21=52.但如能考虑利用统一定义，则可化繁为简.

因为双曲线的左准线为x=-43，离心率为32，则52（-43）-x1=32，解得x1=-3.

故y1=±5（x214-1）=±52.所以点A的坐标为（-3，±52）.

评注：这里要注意的是椭圆（双曲线）有两个焦点，两条准线，利用统一定义时，应是曲线上的动点到某一焦点的距离与它到相应准线的距离之比才是离心率.

二、数形结合，直观获解

例2已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.

解析：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求PA+PF的问题可转化为求PA+d的问题.

将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=±6.

∵6>2，∴A在抛物线内部，

如右图.设抛物线上点P到准线l：x=-12的距离为d，由定义知PA+PF=PA+d，当PA⊥l时，PA+d最小，最小值为72，即PA+PF的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P的坐标为（2，2）.

评注：在抛物线问题中，通常可以借助数形结合，将焦点弦或焦半径，与相关点到准线的距离相互转化，从而可以免除解方程组的繁琐，大大减小运算量.

三、几何性质，助你省力

例3已知圆O′：（x-2）2+y2=4，动圆M（在y轴右侧）与y轴相切，又与圆O′外切，过A（4，0）作动圆M的切线AN，求切点N的轨迹.

解析：设动圆M与y轴切于点B，动圆M与定圆O′切于点C，切点在MO′上，

∵MB∥AO′，故∠BMC=∠CO′A且BMAO′=CMCO′，

∴△BMC∽△AO′C，∴∠MCB=∠O′CA，

∴B、C、A共线.由切割线定理，|AN|2=|AC|·|AB|（1）.

又在Rt△AOB中，OC⊥AB，故|AC|·|AB|=|AO|2=16（2）.

由（1）、（2），知|AN|=4.

故N的轨迹为圆（x-4）2+y2=16（（x，y）≠（0，0））.

评注：解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算.该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出|AN|=|AO|=4.

四、合理设参，减少运算

例4已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）过点（2，1），且离心率为22.求椭圆E的方程.

解析：给出的椭圆方程中有两个参数，能否可以用一个参数重新设出椭圆方程？

由题意知，椭圆E的离心率为22，且它的焦点在x轴上，

故它的方程可设为x22m+y2m=1（m>0），

又椭圆E过点（2，1），故由22m+1m=1m=2，

所以椭圆E的方程为x24+y22=1.

评注：求圆锥曲线标准方程通常采用待定系数法，待定的系数越少，运算量就越小.因此合理设参，也是简化圆锥曲线运算的一条途径.

五、巧用圆心，解答顺心

例5己知点P是椭圆x225+y29=1上一动点，点Q是圆x2+（y-5）2=1上一动点，试求|PQ|的最大值.

解析：如图，当点P、O′、Q不共线时，PQ′

先求点O′（0，5）到椭圆x225+y29=1上任一点P的距离的最大值.

设P（5cosθ，3sinθ），

于是|O′P|=（5cosθ）2+（3sinθ-5）2，

∴|O′P|2=25cos2θ+9sin2θ-30sinθ+25

=-16sin2θ-30sinθ+50=-16（sinθ+1516）2+64116，

∴当sinθ=-1516时，取最大值64116，∴|O′P|取最大值5414，于是|PQ|的最大值为1+5414.

评注：从本例题的求解过程中，可以发现圆心的作用十分突出.当我们求解这类最值时，就应用“心”去解，才能避免复杂运算，化繁为简.

六、巧设方程，事半功倍

例6已知⊙C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解析：法一：设存在直线方程为y=x+b.

则圆心（1，-2）到x-y+b=0的距离d=|3+b|2.

则在以AB为直径的圆中，由垂径定理得r2=9-d2=9-（3+b）22.

由y+2=-（x-1）

y=x+b，得圆心坐标（-b+12，b-12）.

则以AB为直径的圆为（x+b+12）2+（y-b-12）2=9-（3+b）22.

又过原点，将（0，0）代入，得b=1或b=-4.

则存在这样的直线，方程为x-y+1=0或x-y-4=0.

法二：设存在直线方程为y=x+b.

则由y=x+b，

x2+y2-2x+4y-4=0，消y得2x2+2（b+1）x+b2+4b-4=0.

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-（b+1），x1·x2=b2+4b-42，

则y1·y2=（x1+b）（x2+b）=x1·x2+b（x1+x2）+b2.

又以AB为直径的圆过原点，所以OA·OB=0，即x1·x2+y1·y2=0，得b2+3b-4=0.

解得b=1或b=-4.

则存在这样的直线，方程为x-y+1=0或x-y-4=0.

法三：设以AB为直径的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

因过原点，得F=0，则圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心为（-D2，-E2）.

又直线l是两圆的公共弦，两圆相减得l为

（D+2）x+（E-4）y+4=0.①

由斜率为1，得D+2=4-E.②

又（-D2，-E2）在直线l上，得（D+2）（-D2）+（E-4）（-E2）+4=0.③

由②③得D=2

E=0或D=-3

E=5，代入①得

x-y+1=0或x-y-4=0，为所求直线方程.

法四：设存在直线方程为x-y+b=0.

则以AB为直径的圆为（x2+y2-2x+4y-4）+λ（x-y+b）=0，

化简得x2+y2+（λ-2）x+（4-λ）y+bλ-4=0.

因过原点，代入得b=4λ④，

又圆心（-λ-22，-4-λ2）在x-y+b=0上，

得-λ-22+4-λ2+b=0⑤

由④⑤得λ=4

b=1或λ=-1

b=-4，即x-y+1=0或x-y-4=0为所求直线.

评注：本例四种思路，四种解法，各有千秋.但第四种解法运用圆系方程，巧设圆的方程，解题过程最为简捷！由此可见，巧设曲线系方程，有时能帮助我们减少计算量.

七、设而不求，整体代换

例7已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若|k1||k2|=2，则双曲线的渐近线方程为.

解析：要求双曲线的渐近线方程，必须先找出a2与b2的关系.

设M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y），则k1=y-y0x-x0，k2=y+y0x+x0.

又∵M，N，P都在双曲线x2a2-y2b2=1上，

∴b2x20-a2y20=a2b2

b2x2-a2y2=a2b2，∴b2（x2-x20）=a2（y2-y20）.

∴x-x0y-y0=a2b2·y+y0x+x0.∴1|k1|=a2b2|k2|，即|k1|·|k2|=b2a2.

又|k1||k2|=2，故b2a2=2，双曲线的渐近线方程为y=±2x.

评注：对圆锥曲线中的某些相关点的坐标设而不求，进而采用点差法或韦达定理进行整体代换，同样可以大大减少运算量.

八、巧用结论，答案立现

例8已知椭圆x216+y2=1，过点A（-2，32）作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，分别交椭圆于P、Q两点，则直线PQ的斜率为.

解析：本题若按部就班去解，必定耗时耗力，若采用结论“过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y0）任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值b2x0a2y0.”去解，便顷刻得出答案：-312.

评注：由于填空题只需填写答案，不需写过程，所以不可小题大作.因此在平时学习中记住一些重要结论，可以对这些填空题“秒杀”.对于椭圆的此类问题，重要结论还有：（1）经过原点的直线l与椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则kPM·kPN为定值-b2a2.（2）设A、B、C是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的三个不同点，B、C关于x轴对称，直线AB、AC分别与x轴交于M、N两点，则OM·ON为定值a2.