立体几何重点知识与题型分析

卢玉才

一、面积、体积和距离的计算

重要知识

类型名称侧面积表面积体积备注柱体圆柱S侧=2πrhS侧=2πrh

+2πrV=πr2hr是底面半径

h是圆柱的高棱柱S侧=ch

（直棱柱）S侧=ch′

（正棱柱）S全=S侧

+2S底V=Shc为底面的周长

h′为斜高

S为底面积

h为几何体的高锥体圆锥S侧=πrlS侧=πrl

+πr2V=13πr2hr是底面半径

l是母线长棱锥各侧面

积之和各面面

积之和V=13ShS为底面积

h为几何体的高球S球=4πR243πR3R为球的半径题型分析

例1（1）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则V1V2的值为.

（2）已知圆锥的底面半径为1，高为22，则该圆锥的侧面积为.

解析：（1）设AB=a，AD=b，A1A=c.

则V1=13S△ABD·12A1A=abc12.

V2=13SADD1A1·12AB=abc6.∴V1V2=12.

（2）∵底面半径为1，高为22，母线长

l=（22）2+12=3，∴圆锥的侧面积为：

S侧=12·2πr·l=12×2π×1×3=3π，故该圆锥的侧面积为3π.

评注：三棱锥体积的计算，只需找到合适的顶点和底面，而四棱锥体积的计算，关键在高的计算，圆锥中的半径、高和母线长，它们的关系可以通过一个直角三角形来沟通计算.

二、平行关系、垂直关系

重要知识

1.平行关系

类型证明方法直线与直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c若a∥α，aβ，α∩β=l，则a∥l若a⊥α、b⊥α，那么a∥b若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b直线与平面平行若aα，a∥b，bα，则a∥α若α∥β，mα，则m∥β平面与平面平行若aα，bα，α∥β，b∥β，a∩b=A，则α∥β若a⊥α，a⊥β，则α∥β2.垂直关系

类型证明方法直线与直线垂直若a，b所成的角为90°，则a⊥b若a⊥α，bα，那么a⊥b直线与平面垂直若l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b=A，则l⊥α若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，那么a⊥β平面与平面垂直若aα，bα，a∥β，b∥β，a∩b=A，则α∥β若a⊥α，a⊥β，则α∥β题型分析

例2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）证明：PA⊥BD；

（2）设PD=AD=2，求点D到面PBC的距离.

解析：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD.从而BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，又由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，可得BD⊥PD.∴BD⊥面PAD，PA面PAD，∴PA⊥BD.

（2）法1：在平面PDB内作DE⊥PB，垂足为E.∵PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，∴PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD，又AD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，又DE面PBD，∴BC⊥DE.又DE⊥PB，PB∩BC=B，则DE⊥平面PBC.由题设知，PD=AD=2，则BD=23，PB=4，根据DE·PB=PD·BD，得DE=3，即点D到面PBC的距离为3.

法2：设点D到平面PBC的距离为d，由（1）得BD⊥AD，∴AB=4，VPBCD=12VPABCD=12×13×SABCD×PD=16×2×4×32×2=433，又VPBCD=VDPBC=13S△PBC×d，由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，DC面ABCD，△PBD，△PCD为Rt△，∴PC=PD2+CD2=25，PB=PD2+DB2=4，又BC=AD=2，∴△PBC为Rt△且S△PBC=12×2×4=4，∴d=3.

评注：异面直线间的垂直问题，一般要通过合适的线面垂直得到，题设中已有PD⊥底面ABCD，故有PD⊥BD，因此我们选择证明BD⊥平面PAD.点到平面的距离的计算一般要利用已有的垂直关系构建面面垂直进而得到线面垂直，如果构建垂直关系比较困难，则可利用等积法求距离.

例3如图几何体中，矩形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点.

（1）证明：EM∥平面ACDF；

（2）证明：BD⊥平面ACDF.

解析：（1）法1：延长BE交CD与G，连接AG，∵E，M为中点，∴EM∥AG，EM平面AFDC，AG平面AFDC，∴EM∥面ACDF.

法2：取BC的中点N，连接MN、EN.

在△ABC中，M为AB的中点，N为BC的中点，∴MN∥AC，又因为DE∥BC，且DE=12BC=CN，∴四边形CDEN为平行四边形，∴EN∥DC，又∵MN∩EN=N，AC∩CD=C.∴平面EMN∥平面ACDF，又∵EM面EMN，∴EM∥面ACDF.

（2）∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE=DC，又AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF.

评注：（1）中的线面平行问题可由线线平行或面面平行得到，前者要在平面中找一条线和已知的直线平行，面中找线的方法是利用平形四边形或三角形（如题中的平行四边形EMCD和△ABG），后者需要构造一个过已知直线且与已知平面平行的平面，通过证面面平行得线面平行.（2）中要证线面垂直，但题设中给出了面面垂直，我们找出一个面中垂直于交线的直线可以得到线面垂直，进而找到证明线面垂直中所需要的线线垂直.

例4已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=2，AB=1，如图1所示，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，如图2所示.

（1）当平面PBD⊥平面PBC时，求三棱锥PBCD的体积；

（2）在图2中，E为PC的中点，若线段BQ∥CD，且EQ∥平面PBD，求线段BQ的长.

解析：（1）当平面PBD⊥平面PBC时，因为PB⊥PD，且平面PBD∩平面PBC=PB，PD平面PBD，所以PD⊥平面PBC，因为PC平面PBC，所以PD⊥PC.因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2，AD=2，AB=1，所以BD=BC=3，DP=2.所以CP=CD2-PD2=2.又因为BP=1，所以BP2+CP2=BC2，所以BP⊥CP.所以S△PBC=12PB×PC=22.所以三棱锥PBCD的体积等于VDPBC=13S△PBC·PD=13×22×2=13.

（2）取PD的中点F，连接EF，BF，如上图所示.又因为E为PC的中点，所以EF∥CD，且EF=12CD.又因为BQ∥CD，所以EF∥BQ.所以B，F，E，Q共面.因为EQ∥平面PBD，EQ平面BFEQ，且平面BFEQ∩平面PBD=BF，所以EQ∥FB.又因为EF∥BQ，所以四边形BFEQ是平行四边形.所以BQ=EF=12CD=1.

评注：立体几何中的翻折问题，要注意翻折前后变化的量与不变化的量，本题中DP⊥BP总是不变的，结合平面PBD⊥平面PBC就由线面垂直从而得到∠DPC=90°，通过勾股定理得到∠BPC=90°，最终利用公式得到体积.（2）中已知线面平行，利用其性质可以得到一个EF∥BQ，据此得到平行四边形EFBQ也就得到BQ的长度.

三、空间角的计算

重要知识

角的计算公式

名称计算公式备注异面直线所成的角αcosα=|a1·a2|a1|×|a2||a1，a2为直线的方向向量直线与平面所成的角αsinα=|a·n|a|×|n||a为直线的方向向量，n为平面的法向量二面角α|cosα|=

|n1·n2|n1|×|n2||n1，n2为平面的法向量，要判断二面的平面角为钝角还是锐角例5如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点.

（1）求异面直线AF与PE所成的角；

（2）若BC=2BE=23AB，①求直线AP与平面PDE所成角的大小；②求二面角CPDE的平面角的余弦值.

解析：（1）建立如图所示空间直角坐标系.

设AP=AB=2，BE=a，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0），于是，PE=（a，2，-2），AF=（0，1，1），则PE·AF=0，所以AF，PE所成的角为90°.

（2）①若BC=2BE=23AB，则D（43，0，0），PD=（43，0，-2），PE=（23，2，-2），设平面PDE的法向量为n=（x，y，z），由n·PD=0

n·PE=0，得：43x-2z=0

23x+2y-2z=0，令x=1，则z=23，y=3，于是n=（1，3，23），而AP=（0，0，2），设AP与平面PDE所成角为θ，所以sinθ=|n·AP||n||AP|=32，所以AP与平面PDE所成角θ为60°.

②设平面PCD的法向量为m=（x，y，z），C（43，2，0），DC=（0，2，0），DP=（-43，0，2），所以-43x+2z=0

2y=0，令x=1，则y=0，z=23，m=（1，0，23），设m，n所成的角为α，则cosα=m·n|m||n|=134，又二面角CPDE的平面角为锐角，所以其余弦值为134.

评注：空间角的计算，要借助于直线的方向向量和平面的法向量，注意异面直线所成的角应为锐角或直角.若记直线与平面所成的角α，而该直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则α，β满足关系式sinα=|cosβ|.又二面角的平面角与法向量所成的角之间是相等或互补，在实际计算中要判断二面角的平面角是锐角还是钝角.