在素环上作为同态或反同态的广义导子

苑智莉

(吉林师范大学 数学学院 吉林 长春 130000)



在素环上作为同态或反同态的广义导子

苑智莉

(吉林师范大学 数学学院 吉林 长春 130000)

R为2-扭自由素环，J为非零Jordan理想，F为R上广义导子，有F(xy)=F(x)F(y)或F(xy)=F(y)F(x) x,y∈J.若d≠0，则R为可交换的.

素环；广义导子；Jordan理想

0 引 言

Bell和Kappe[1]证明了，若d为R上导子，在R上非零右理想上作为同态或反同态，则d=0.Ashaf[2]将结论推广到了(σ，τ)导子，Rehman[3]进一步研究素环非零理想上广义导子作为同态或反同态. 本文讨论了素环Jordan理想上广义导子作为同态或反同态的结果 .

1 预备知识

如果对任意的a,b∈R，aRb=0 有a=0或b=0, 则称R为素环.∀x,y∈R，有[x,y]=xy-yx,x°y=xy+yx. 如果环R为2-扭自由的，则对于a∈R，2a=0必有a=0.设R是结合环，d：R→R是R上可加映射，如果对于任意x,y∈R,有d(xy)=d(x)y+xd(y).则称d为R上的一个导子.如果可加映射F：R→R被称为广义导子，则F(xy)=F(x)y+xd(y)，x,y∈R.d为F的伴随导子.环R的一个可加子群J称为环R的Jordan理想，如果u°r∈J,对∀u∈J,r∈R.成立.

若S为R上非空子集，F为R上广义导子F(xy)=F(x)F(y)或F(xy)=F(y)F(x).x,y∈S,则F叫做广义导子作为同态或反同态.

2 主要结果

引理1[[4]引理2.5]：R为2-扭自由素环，J为R上非零Jordan理想，若aJ=(0)或Ja=(0),a∈R 则 a=0.

引理2[[4]引理2.6]：R为2-扭自由素环，J为R上非零Jordan理想，若aJb=(0)，则有a=0或b=0.

引理3[[4]引理2.7]：R为2-扭自由素环，J为R上非零Jordan理想，若J为可交换Jordan理想，则J⊆Z(R).

定理1：R为2-扭自由素环，J为R上非零Jordan理想，假设F为广义导子，伴随导子为d

(i)F作为同态在J上，若d≠0,则R为可交换的.

(ii)F作为反同态在J上，若d≠0,则R为可交换的.

证：假设R为不可交换的

(i)若F作为同态在J上，有

(1)F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(x)F(y) x,y∈J.

对于x,y,z∈J可得

(2)F(xyz)=F(xy)z+xyd(z) x,y,z∈J.

另一方面

(3)F(xyz)=F(x)F(yz)=F(x)F(y)z+F(x)yd(z) x,y,z∈J.

比较(2)和(3)，可得 (F(x)-x)yd(z)=0 x,y,z∈J.

(F(x)-x)Jd(z)=0 x,z∈J. 由引理2可知(F(x)-x)=0或d(z)=0

若d(z)=0 z∈J.则d=0 与已知矛盾

另一方面F(x)=x x∈J. 则xy=F(xy)=F(x)y+xd(y) x,y∈J.

可知xd(y)=0 Jd(y)=0 由引理1可知d(y)=0 y∈J.

d=0与已知矛盾.

(ii)若F作为反同态在J上，有

(4) F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(y)F(x) x,y∈J.

在(4)式中用xy代替x，并应用(4)式，可得

(5)xyd(y)=F(y)xd(y) x,y∈J.

在(5)式中用zx代替x，可得

(6)zxyd(y)=F(y)zxd(y) x,y,z∈J.

在(5)式中左乘z，可得

(7)zxyd(y)=zF(y)xd(y) x,y,z∈J.

比较(6)和(7)可得[F(y),z]xd(y)=0 x,y,z∈J.则

[F(y),z]Jd(y)=0 y∈J 由引理2知[F(y),z]=0或d(y)=0.

由于J1和J2是J的两个可加子群J=J1∪J2.又因为一个群不可以写成两个真子群的并，则有J=J1和J=J2.

若J=J1,则d(y)=0 y∈J.则d=0.与已知矛盾.

若J=J2,则有[F(y),z]=0 y,z∈J.用yz代替y可得，[y,z]d(z)+y[d(z),z]=0.

再用xy代替y可得[x,z]yd(z)=0 x,y,z∈J.即[x,z]Jd(z)=0.由引理2可知

d(z)=0 z∈J(与已知矛盾).或[x,z]=0 x,z∈J.由引理3可知J⊆Z(R),则R为可交换的.

综上R为可交换的.

3 结 语

本文研究了在素环Jordan理想上广义导子作为同态或反同态，若d≠0时，素环R是可交换的.把Rehman研究的素环非零理想上广义导子的相关结果推广到Jordan理想上，这对进一步的研究是很有帮助的.

[1]Bell H E,Kappe L C.Rings in which derivations satisfy certain algebric conditions[J].Acta Math.Hung,1989,53:339-346.

[2]Ashraf m,Rehman N,Quadri M A.On (σ,τ)-derivations in certain classes of rings[J].Rad.Math.,1999,9:187-192.

[3]Rehman M.On generalized derivation as homomorphisms and anti-homomophisms[J].Glasnic Mat,2004,39(59):27-30.

[4]Zaidi S M A, Ashraf M,Ali. S.On Jordan ideals and left (θ，θ)-derivations in prime rings[J].International Journal of Mathematical Sciences, 2004,37:1957-1964.

[5]Havala B.Generalized derivations in rings[J].Comm.Algebra,1998,26:1147-1166.

[责任编辑：王军]

Generalized derivations as homomorphisms or as anti-homomorphisms in a prime ring

YUAN Zhili

( College of Mathematics，Jilin Normal University，Changchun 130000，China)

In the present paper it is shown that: if R is 2-torsion free prime ring, letJbe a nonzero Jordan ideal of R and F a generalized derivation of R such that either F(xy) = F(x)F(y) or F(xy) = F(y)F(x) for all x,y ∈ J,if d≠0, then R is commutative.

prime rings;generalized derivations;Jordan ideals

2016-03-14

苑智莉(1992—)，女，吉林松原人，吉林师范大学硕士研究生，主要从事环论的研究.

O153.3

A

1672-3600(2017)03-0018-02