立体几何中的向量方法（第1课时）

陈佳佳

近期笔者代表学校参加了金华市数学课堂教学评比。比赛分为三轮，分别是说课、说题、上课。笔者的教学内容为人教A版《选修2-1》第三章“空间向量与立体几何”第二节“立体几何中的向量方法”（第一课时），现将教学过程整理如下。

1.教材分析

1.1教材的地位与作用

《立体几何中的向量方法》是数学《选修2–1》第三章第二节内容，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。本节课主要学习用向量表示点、线、面的位置以及线线、线面、面面的位置关系如何用向量来表示，这为接下来用向量的方法处理立体几何问题做了铺垫。

1.2 教学目标

依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

知识与技能：理解点的位置向量、直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关系。

过程与方法：通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力，发展独立获取数学知识的能力。

情感、态度与价值观：通过本节课的学习，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质。

1.3 教学重难点

重点：直线的方向向量和平面的法向量概念的理解；

难点：直线的方向向量和平面的法向量的应用；

2.教法学法分析

2.1 学情分析

本节课的教学对象是高二学生。通过数学《必修2》中的立体几何和数学《选修2–1》空间向量及其运算的学习，学生已具备了一定的空间想象能力和代数运算能力，很自然就过渡到二者综合运用的层次；但是由于学生数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全，学生仍会对向量和几何的综合运用存在一定的困难。

2.2 学法分析

通过逐步设问让学生动手实践、讨论、比较，抽象概括出概念，让学生体会特殊到一般的思维方法，发展学生的理性思维能力。

2.3 教法分析

通过分析教材和学生认知规律，创造性地使用教材，做到既重视教材，更重视学生，用启发引导法和自主探究法进行教学。

3.课堂实录

3.1创设情境，引入课题

问题情境：已知正方体 中，

（1）求证：直线

（2）求异面直线 所成角的余弦值。

（PPT投影）

教师：同学们，这是立体几何中比较常见的两个问题，你们会解吗？

（学生思考片刻后）

学生1：第一小题的解题思路：连接线段AC，通过证明 ，得到 .同理可得， ，从而得到结论。

学生2：第二小题的解题思路：把BD平移到 ， 为所求角且 是正三角形，容易得到结论。

教师：两位同学都回答得非常好，通过前面一节内容的学习，我们还能用其它方法来处理吗？

（学生开始七嘴八舌的提出自己的见解）

教师：对！我们还能用前面学习的空间向量的知识来处理，空间向量不仅可以求异面直线所成角，还能证明线面垂直，面面垂直等立体几何问题。

设计意图：从我们熟悉的空间几何体引入今天的课题，让学生有一种亲切感，也激发了学生的求知欲望。

3.2探究新知，形成概念

教师：阅读课本第102～103页内容，回答以下几个问题：

1.位置向量的定义。

2.直线的位置如何确定？

3.平面的位置如何确定？

4.法向量的定义。

（多媒体展示问题，学生带着问题阅读课本，阅读完后思考、讨论、回答，教师板书概念）

点的位置向量：在空间中，取一定点O作为基点，空间任一点P的位置可用向量 表示，故向量 为点P的位置向量。

直线的方向向量：直线 上取 ，那么对于直线 上任意一点P，存在实数t使得 。

平面的法向量：如果直线 ，取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的向量。

教师：我们还能从刚才的三个概念中提炼出三个结论：

1.法向量一定是非零向量；

2.一个平面的所有法向量都互相平行；

3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 。

设计意图：为了更好地理解概念，突出重点。

教师：经过刚才的学习，我们现在能用空间向量解决问题情境中的两个问题了吗？

（问题情境重现，引发学生思考）

学生3：可以用直线的方向向量来表示直线，平面的法向量来表示平面。但具体怎么做还不是很清楚。

教师：这位同学对所学知识掌握的很好，能现学现用。为了解决以上问题，我们先来思考以下两个问题：

（1）线线、线面、面面平行和垂直的位置关系如何用向量来表示？

（2）线线、线面、面面的夹角如何用向量来表示？

（学生认真思考，但一下子无从下手）

教师：我先以线面垂直为例，我们一起来探究。请同学们画出线面垂直的情况，同时标出直线的方向向量和平面的方向量。（请学生板演）

学生4：

教师：同学们，你们看这样画对吗？

学生5：可以的！但是还有三种种情况，这两个箭头可以都向上，也可以都向下，还可以一上一下或一下一上。

学生6：我觉得应该是两种情况：两个向量方向相同或相反。

教师：很好！向量与线段的不同在于它是既有大小又有方向的量。所以在画直线的方向向量和平面的方向量时要考虑到方向，但是我们在做题时还要考虑到题目的需要。两个向量的方向都向上或都向下是同一种情况，所以我们最终得到以下两种情况。

教师：那么我们根据图形可以得到什么结论？

（学生思考片刻后）

学生7：不管是第一种情况还是第二种情况，这两个向量都是共线的，所以 。

教师：总结得很好，这样我们就可以用直线的方向向量和平面的法向量来证明线面垂直。接下来请同学们仿照线面垂直的探究过程，来研究线线、线面、面面平行与垂直的其他情况。

学生经过讨论和作图研究后，得到以下结论：

设直线 l，m的方向向量分别为 ，平面 的方向量为 ，则

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

注意：这里线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。

教师：第一个问题我们已经解决了，下面我们来研究第二个问题。我们仍以其中一个为例，那我们先来解决我们最熟悉的问题——两条异面直线所成角。请同学们先来画出线面垂直的情况。

学生8：（上台板演）

教师：同学们觉得怎么样？（大部分同学点头表示赞同，有同学有异议）

学生9：直线所成的角是小的那个角，怎么会有两种情况呢？

教师：谁能来帮我们的学生9解决心中的疑问呢？

学生10：我觉得他有点混淆了，异面直线所成的角是唯一的，但两个方向向量所成角是有两种情况的。

教师：这位同学的回答得很好，前面同学的提问也有想象力。这就是我下面要问的问题：异面直线所成角与两个方向向量所成角之间有什么关系呢？

学生11：相等或互补。

教师：那么我们又能得到什么结论呢？

（也许受到刚才的激励，学生们思考的积极性明显高涨，很快就有了结果）

学生12：

相等时 ，互补时

教师：非常正确！我们也可以合到一起写成：

教师：剩下的线面和面面的夹角问题作为课后思考题，请同学们课后自行完成。

设计意图：在教师的启发引导下，学生自主探究、自由想象、合作交流的过程中，突破本节课的难点。体现了学生的主体地位和教师的主导作用。

3.3及时训练，巩固新知

例1：（PPT投影）判断下列线线、线面、面面的位置关系

（1）设 分别是直线 的方向向量，且

（2）设 分别是平面 的法向量，且

（3）设 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，且

（请三位同学板演，其余同学独立完成）

题目难度不大，所以同学们都做得非常好。

设计意图：三种不同的情况，三种不同的位置关系，不仅巩固了所学的知识而且让学生充分体会空间向量在解立体几何问题中的作用。同时也体现了“向量是躯体，运算时灵魂”这句话的真正含义。

4.总结反思，提高认识

教师：通过努力，我们会用向量的方法来解决一些立体几何问题，我们本节课主要探讨了哪些？

学生13：探讨了线线、线面、面面的平行与垂直问题以及异面直线所成角的问题。

看来收获还是比较多的，希望同学们可以将这类研究问题的方法和数学思想运用到更多的领域中，相信你会有更多的收获！