导数在经济学中“边际分析”的应用

孙娜++李晓芳

摘要：导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义。因而在自然科学，工程技术以及社会科学领域中得到广泛的应用，运用导数可以解决经济上常见的一些问题[1]。本文重点讨论了导数在解决经济学中“边际成本”，“边际收入”，“边际利润”以及“最大利润”等问题[2]。

关键词：导数；变化率；边际成本；边际收入；边际利润；最大利润

引言：微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。导数[3]是微积分的两大部分之一，指的是函数的变化率，阐述了一些事物和现象都不断变化，当然经济现象也不例外。本文主要讨论了经济学中边际分析的应用。

一、导数的概念

定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 + 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ，如果 与 之比当 0时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即

. （1）

令（1）中的 时，则当 时 ，因此（1）式又可写为

.（2） 令 ，则得到（3）式

.（3）

进而可引出左，右导数的定义：

，

.

二、边际的概念及应用

边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。

1.边际成本

在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义：

定义1：设总成本函数 ，且其它条件不变，产量为 时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为 时的边际成本。即：

其中 =1或 =-1。

例1：已知某商品的成本函数为：

（Q表示产量）

求：（1）当 时的平均成本及 为多少时，平均成本最小？

（2） 时的边际成本并解释其经济意义。

解：（1）由 得平均成本函数为：

当 时：

记 ，则 令 得：

而 ，所以当 时，平均成本最小。

（2）由 得边际成本函数为：

则当产量 时的边际成本为5，其济意义为：当产量为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将近似地增加（减少）5个单位。

2.边际收入

定义2：若总收益函数 可导，称

为销售量为 时该产品的边际收益。 称为边际收益函数，且 .

其经济意义为在销售量为 时，再增加（减少）一个单位的销售量，总收益将近似地增加（减少） 个单位。

注：总收益是生产者出售一定量产品所得以的全部收入，表示为 ，其中 表示销售量。

3.边际利润

定义3：总利润是指销售 个单位的产品所获得的净收入，即总收益与总成本之差，记 为总利润，则：

（其中 表示销售量）

定义4：若总利润函数 为可导函数，称

为 在 处的边际利润。

其经济意义为在销售量为 时，再多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。

根据总利润函数，总收益函数、总成本函数的定义及函数取得最大值的必要条件与充分条件可得如下结论。

由定义，

令 则 .

结论1：函数取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本.

结论2：函数取得最大利润的充分条件是：边际利益等于边际成本且边际利益的变化小于边际成本的变化率。

例2：假定有酒100吨，现价8元/公斤，多陈一年可增值2元/公斤，贮存费每年10000元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加 （其中 为酒的贮量， 为当年白酒价格， 为利息率，且假定 %），那么这些酒须储存多久效益才最大呢？

1. 年增加的总收入函数

（元）

2. 年增加的贮存总成本

（元）

3. 年净增利润函数

= （元）

此时边际收入： 边际成本：

因为当 利润最大，所以有 ，即 年。

由于驻点唯一，故只有当储存期为2.75年时，企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为151 250元。

三.总结

随着市场经济的不断进步与发展，灵活利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，更是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，来运用所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用[4]。

对企业经营者管理者来说，精准的对其经济环节进行定量分析是非常必要的。最优化问题也是经济管理活动的核心，通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。将导数作为分析工具，可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角[5]。

经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，通常伴随一些约束条件[6]。通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远[7]。

导数对于在经济学中边际问题的剖析尤为主要，经由过程边际问题的剖析，对于企业的抉择妄想者做出正确的抉择妄想起了十分主要的浸染！通过阐述导数在经济分析中的几种应用，说明导数在经济管理中的重要作用，利用数学工具对经济的各个环节进行定量分析[8]，有利于对经济管理工作做定性分析，从而更科学地进行经济管理，这是我国深化体制改革使经济管理工作于国际接轨必不可少的一步。

参考文献：

[1]丁瑶：导数的经济意义及教学探讨[J].重庆电子工程职业学院.2010.07.149-150.

[2]李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2010（2）：17-19.

[3]王青青.浅谈导数在经济中的应用[J].高校讲坛，2011（9）：8.

[4]王利珍：用导数解决经济中的最优化问题[J].忻州师范学院学报.2008.10.27-28

[5]王利珍：用导数解决经济中的最优化问题[J].忻州师范学院学报.2008.10.27-28

[6]雷良缓：经济数学中的边际分析与弹性分析[J].江苏经贸职业技术学院学报，1995.02.81-83

[7]蔡宇泽，赵春红，王贝：需求弹性函数的经济分析[J].江苏教育学院学报，2007.07.87

[8]王桐柱：函数的导数与边际成本[J].高中数学教与学，2005.10.43-44