m进制正整数乘积末位数有关规律问题探讨

冯邦钦　陈云峰　陈静文

【摘要】探讨了给定m进制正整数n与任意m进制正整数相乘所得积的末位数字不同个数的变化规律.

【关键词】m进制；数乘；正整数；积

【基金项目】湖北理工学院校级重点课题“关于不定方程最小解的探讨研究”，项目编号：13xjz07A.

【分类号】O121 【文献标识码】A

在十进位制数中，任给一个正整数n与任意正整数相乘，其积的末位数字的不同个数变化规律如何呢？笔者经过探讨，发现有以下美妙结果.

定理1 在十进制数中，给定正整数n与任意正整数相乘所得积的末位数字的不同个数为10÷（n，10）.

事实上，给定的正整数n与任意给定的正整数n1相乘的所得乘积n×n1的末位数字是由这两个数的末位数字相乘所得积的末位数字.

令n=10m+r，n1=10m1+r1，其中0≤r，r1≤9，则

关于积r1r的末位数字不同个数情况做如下探讨：

n1的末位数字取值分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；将n的末位数字r分为0，2，4，5，6，8及1，3，7，9两类进行讨论，讨论的结果如表1和表2.

综上，从以上的列表中看到，定理1的结论显然成立.

那么，在任意m进制数中，给定正整数n与任意正整数相乘所得乘积的末位数字不同个数规律又如何呢？

定理2 在m进制数中，给定正整数n与任意正整数相乘，所得积的末位数字的不同个数为m÷（m，n）.

证：在m进制数中，正整数的末位数字分别为0，1，2，…，m-1，所以给定正整数n与任意正整数的相乘所得乘积数的末位数字不同个数与0，2n，3n，…，（m-1）n这m个数的末位数字不同个数情况完全相同.

不妨取nt0，nt1有相同的末位数字，其中t0∈{0，1，2，…，m-1}，t1∈zm，nt1≡nt0（modm），当n≡0（modm）时，定理显然成立；当n≠0（modm）时，根据文献[1]、[2]知，故有n（m，n）t≡n（m，n）t0modm（m，n），又m（m，n），n（m，n）=1，从而t1≡t0modm（m，n），所以t1=t0+m（m，n）t，t1∈zm，而当t=0，1，2，3…，（m，n）-1时，t1=t0，t0+m（m，n），t0+2m（m，n），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n），且此（m，n）个整数关于模（m，n）互不同余，也即t0，t0+m（m，n）（modm），t0+2m（m，n）（modm），…，t0+（（m，n）-1）m（m，n）（modm）∈{0，1，2，…，m-1}且关于模m互不同余，即一次同余方程nt1≡nt0（modm）关于模m有（m，n）个不同解，由于并这（m，n）个整数与n乘积所得末位数字与nt0末位数字相同，又“正整数n与任意正整数的相乘所得乘积数的末位数字不同个数与0，2n，3n，…，（m-1）n这m个数的末位数字不同个数情况完全相同”，故0，2n，3n，…，（m-1）n这m个数中与nt0的末位数字相同的个数为（m，n）个.

由于t0∈{0，1，2，3，…，m-1}的任意性知，0，n，2n，3n，…（m-1）n这m个数的末位数字中，有不同末位数字的个数为m÷（m，n）.

下面对m=8时的情况进行讨论.

取正整数n1=8m1+r1，n2=8m2+r2，0≤r1，r2≤7，且m1，m2均为正整数，n1×n2=8（8m1m2+m1r2+m2r1）+r1r2.

【参考文献】

[1]华罗庚.数论导引[M]，北京：科学出版社，1975：1-37.

[2]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M]，北京：高等教育出版社，1982：59-64.