在解析几何问题探究中培养学生的发现能力

（福清第二中学，福建福州350300）

在解析几何问题探究中培养学生的发现能力

薛日琴

（福清第二中学，福建福州350300）

以2016年河南省东部六校联考理科第20题为例，阐述了在一道解析几何问题探究中引导学生学会观察与实验、归纳与猜想、类比与推广、想象与构造，以提升学生的问题意识，培养学生的发现能力的系列教学过程。

高考数学；解析几何；椭圆；定值

自《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布以来，“四基”与“四能”的培养问题在全国范围内激起很大反响。培养学生的发现能力，需要发挥教师的示范引导作用，帮助学生找到发现与提出数学问题的方法和途径，引导学生在解决问题的过程中学会通过观察与实验、归纳与猜想、类比与推广、想象与构造等多种方法去发现问题提出问题。下面以2016年河南省东部六校联考理科第20题为例，就如何在解析几何问题探究中培养学生的发现能力这一重要问题，阐述笔者的一些思考和做法。

一、试题的内容与初步分析

如图1，已知M(x0,y0)是椭圆上的任一点，从原点O向圆M∶(x-x0)2+(y-y0)2=2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q。

（1）若直线OP,OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；

本题主要考查圆、椭圆、直线的斜率和定值问题。将椭圆C方程及圆M方程分别替换为(x-x0)2+(y-y0)2=8，即可得2016年河南省六市第一次联考理科第20题，如出一辙的两道试题引起笔者的关注与研究。

二、对问题进行的推广

显然，要使得上述问题中的k1k2以及

为定值，圆M的半径应该受制于椭圆，那么具体需要满

定理1.如图2，已知M(x0,y0)是椭圆C+=1(a＞b＞0)上的任一点，从原点O向圆M∶(x-x0)2+(y-y0)2=作两条切线，分别交椭圆于点P，Q。若直线OP，OQ的斜率存在，则kOPkOQ=-且=a2+b2。

证明：直线OP∶y=kOPx与圆M相切，可得（r=，下同），由此可得-r2=0，同理可得，所以kOP，kOQ是方程的两个不相等实根，由韦达定理得，又点M(x,y)00在椭圆C上，得，结合=-。

当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1,y1)， Q(x2y2)，由于，从而

综上，定理1成立。

我们知道，一个命题为真，其逆命题与其真假性无关，就定理1而言，将其条件与结论交换，由能否推导出另外两个代数式子的取值？或由能否得到另外两者的取值？笔者对此作进一步的思考。

三、对问题进行的探究

证明同样设M点坐标为(x0,y0)，由定理1的证明过程，得，即得的证明过程与定理1相同。

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)由于，又P，Q在椭圆C上，可得，代入上式从而有，经过进一步整理得可得。所以不是的充要条件。

四、由问题引发的后继思考

数学大师波利亚告诫我们：“没有一道题目可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。”同时，他还认为，在问题解决（有别于通常教学中的例、习题训练）的过程中，需要发现并提出另一些与问题相关的更易于解决的问题，以此引导学生学会怎样解题。那么，在这个解析几何问题探究中，是否还有值得进一步挖掘的内容呢？笔者联想到2011年山东高考数学理科第22题：

证明当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x2=x1,[y2=-y1]。因为P在椭圆C上，则，由此可得，又，故反之，由可得，结合可得从而

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由方程组得(a2k2+b2+x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0，则，从而O到直线l的距离a2k2+b2=2m2。

综上，定理3成立。

我们以一道联考题为背景建构了一个数学问题模型，通过置换问题的条件与结论，引入新的条件与结论，将问题引申演变成一个新的数学问题，有助于让学生在发现问题和解决问题中，将知识、能力和数学方法在更多的新情景、更高层次中反复渗透，从而达到发展学生的探究与发现能力的目的。在这个过程中，学生获得的不仅仅是知识，更多的是一种探究意识的觉醒与发现能力的提升，当学生离开学校忘掉所学知识的时候，这些东西将会遗留下去并影响终生。

［1］夏越春.椭圆中一类定点定值问题的解法示例和命制溯源［J］.数学通讯，2013.

［2］余明芳，王钦敏.例谈高中数学探究性课题的选择与教学设计［J］.数学通报，2015（11）.

［3］张跃红.授人以渔，勿施以鱼——从高三复习课“圆锥曲线中的定点、定值问题”谈起［J］.数学通报,2014（2）.

［4］高震,刘太和.与椭圆有关的斜率之积为定值的几个结论［J］.中学数学教学参考,2016（3）.

（责任编辑：王钦敏）

本文系福建省教育科学“十三五”规划2016年度重点课题“中学生发现数学问题能力的培养研究”（项目编号：FJJKCGZ16-177）阶段性研究成果。