Yablo悖论的循环性与不一致性问题

赵 艺 熊 明

Yablo悖论的循环性与不一致性问题

赵 艺 熊 明

Yablo悖论是除说谎者悖论外最具争议的语义悖论。目前，Yablo悖论的研究归结为两个问题：Yablo悖论是类似于说谎者悖论那样具有循环性的悖论吗？Yablo悖论是严格意义上的悖论吗？我们通过厘清第一个问题的相关争论，指出需要考虑悖论产生矛盾的循环性条件，进而指出Yablo悖论与说谎者悖论虽有不同的自指性，却具有相同的循环性。对第二个问题，我们从纯语义的角度对Yablo悖论的两种形式化进行分析，阐明Yablo悖论的ω-不一致性所在，进而指出在讨论Yablo悖论产生矛盾的循环性条件时，应予区分是在算术的标准模型下还是在非标准模型下。

Yablo悖论 循环性 自指性 不一致性

一、引言

是什么导致一些语句产生悖论？罗素认为是自指性。然而，哥德尔和塔斯基并不认为自指性是悖论产生的充分条件。这一点可以用如诚实者语句“我所说的这句话是真的”这样的简单日常语句来证明。但是，很多学者都同意悖论产生的必要条件是语句的自指性。这使得人们理所当然地认为要构造一个无矛盾的语言就是抛弃一切自指性的语句。然而，是否存在一个悖论它是非自指的呢？如果答案是肯定的，那么，上述想法就是徒然的了。Yablo悖论就是在这样的思考中被提出来，并试图让那些简单认为悖论一定是自指的人大吃一惊。当然，任何一个挑战传统观点的新思想都必然面临最严谨的检验和大量的争论，而这些争论不仅使得Yablo悖论更具有魅力，也使人们对悖论及相关问题有了更深刻的理解。

二、Yablo悖论的循环性问题

Yablo悖论是除说谎者悖论外最受争议的真理论悖论，而争论的焦点在于Yablo悖论是否具有循环性。自Yablo于1993年正式指出Yablo悖论不具有循环性后，Priest（1997）是首位提出反对意见并给予证明的学者。[3]随后，Sorensen（1998）对Priest的批判、[4]Beall（2001）对Sorensen的反驳[5]都使得Yablo悖论的循环性问题更富争议性。本节着重讨论Yablo悖论的循环性问题及其相关争论。

Yablo悖论可表述为：

有一个无穷语句序列，Y0，Y1，Y2，……，

得到序列Y0，……Yn……，其中每个语句都指它的后续语句为假。假设Yn为真，根据Yn所说，对于k＞n，Yk为假。因而，（1）Yn+1为假，（2）对于所有k＞n+1，Yk为假。由（2）得，Yn+1为真，与（1）Yn+1为假矛盾。于是，Yn中的每个语句当作为后续语句时为假；然而，当作为后续语句的首语句时又为真。这就是直观意义下的Yablo悖论，其中的构成语句称Yablo序列。Yablo指出，Yn序列中的每个语句都不是自指的，但是它们却蕴含矛盾。与说谎者悖论不同，循环性和自指性对于Yablo悖论来说既不是充分的也不是必要的。

Yablo认为Yablo悖论不具有自指性，也不是循环的，并且这些特征是不证自明的，因而并未给出证明。Priest（1997）应用不动点方法，指出Yablo悖论与说谎者悖论一样具有自指性和循环性。[6]在数学上，一个函数f的不动点是满足x = f(x) 条件的x。Priest指出，受人的思维有限性的限制，当使用Yn这样的量化语句序列来表述无穷语句序列时，该语句序列因以Yn的位置作为不动点，而具有循环性。争论的焦点是Yablo悖论是否与说谎者悖论一样具有循环性，又因争论双方并未严格区分自指性与循环性概念，使争论的焦点同时覆盖了循环性与自指性两个概念。如果Yablo是正确的，那么Yablo悖论的意义就更加凸显出来了；如果Priest是正确的，那么Yablo悖论的提出只是丰富了悖论家族。因此，分析Priest关于Yablo悖论的不动点的论证的正确性是非常重要的。

在进一步分析之前，先做一些技术性说明。本文将在皮亚诺形式算数PA中考虑悖论。PA是在经典逻辑基础上添加若干算术公理扩充得到的理论。在PA中，每个自然数x都有一个形式对应物“数字”（它的标准解释就是x），并且对每个表达式E（比如项、公式），通过哥德尔编码可以把它对应到一个数字（称为E的哥德尔数字），这里用 [E] 进行表示。特别地，当E(x) 表示只含有变元x的公式时，[E ()] 表示把y对应的数字代入到E(x) 中得到的公式的哥德尔数字（比较：[E (y)] 表示把y代入E(x)中得到的公式的哥德尔数字）。下面还要用T表示真谓词符号，而等值式T [A]A（其中A表示语句）称为塔斯基T-模式。

Priest指出，说谎者语句L（“这句话不是真的”）满足LT [L] 在PA中可证（以下简称“可证”），因此，它可视作公式T(x) 的不动点。说谎者语句的不动点特性正好标识出这句话中的“这句话”，这是说谎者语句自指性所在。然后，Priest分析了Yablo悖论。说谎者语句含有指示词“这句话”，因而它的不动点是明显的，而Yablo悖论则需要更多的分析。

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首先，在Yablo悖论的语句序列中，对于所有自然数n，Yn可以表示为k＞n，T [Sk] ，每个语句指称的是该语句的后续语句。由T [Sn] 得：

这里看似具有T-模式结构，其实不然。问题在于，这个递归论证中的n是一个自由变元，T-模式只能应用于具体的语句，不能用于含有自由变元的公式。例如，说T“x是白的”当且仅当x是白的，这是毫无意义的。Yablo语句序列与其说含有T-模式不如说含有一个可满足谓词，这个需要进一步说明。

令S(x, y) 表示这样一个二元谓词，使得如果y是公式E(x) 的哥德尔编码，那么y ＞ x (y不满足 E(x) )。根据对角线引理，S (x, y) 有不动点Y(x)。亦即：

在Yablo悖论中，不动点出现在（*）式中，即Y(x)。但这个不动点不同于说谎者悖论中出现的不动点，它不是一个语句，而是含自由变元x的公式，即x作为变目的谓词，这个谓词的意思是：“没有大于x的数满足这个谓词”。这与说谎者悖论的不动点一样揭示了Yablo悖论的循环性特征。

以上是Priest关于Yablo悖论具有循环性的证明。这个证明凸显了一个问题：如何建立Yablo语句序列相对应的指称关系？一般认为，要建立对象与指称之间的关系，有两种途径：直接命名和间接描述。显然，直接命名在这个问题上不适用。而Priest的工作表明任何对Yablo序列的描述都导致循环。这个问题吸引了更多学者加入讨论。Sorensen（1998）支持Yablo的观点，[7]引入上帝这样的无限主体：若上帝在第1分钟写下第一个语句；在随后的30秒后写下第二个语句；再在随后的15秒写下第三个语句……如此类推，越写越快，则上帝能在2分钟内枚举Yablo序列中的所有语句。因此，Sorensen认为无限主体无需借助循环的描述方式就能确定Yablo序列的矛盾性。Beall（2001）反驳道，也许上帝能枚举一个无穷序列，但是，问题的关键在于当我们采用描述的方式来指称Yablo语句序列，并让上帝来枚举这个无穷序列时，Yablo语句序列肯定是循环的。[8]

三、Yablo悖论的不一致性问题

Yablo悖论的自指与循环性的讨论是关于Yablo语句序列的表达问题，而另一个关于Yablo悖论的研究热点问题是：Yablo悖论是一个严格意义上的悖论吗？从非形式的角度上看，Yablo语句序列确实具有矛盾性，这一点上文已作分析。但是，Ketland（2005）指出，在经典逻辑框架下，用形式推演的方法不一定能从Yablo悖论推出矛盾。[9]

要注意，从语形上讲，Yable序列Y(0)，Y(1)…… 满足的条件有两种理解：（1）公式可证；（2）公式对任意自然数x都可证。Ketland（2005）发现，是把Yablo语句序列中的语句“统一地”代入到T-模式中，还是把这些语句分别代入到T-模式中，出现了分歧。[10]这一点对Yablo语句序列是否导致矛盾至关重要。

按照条件（1）来理解Yablo序列，可把Yablo序列中的语句统一地代入到T-模式中，即Y(x))。在这个条件下，不难按照先前非形式推导，推出矛盾。即：不一致。

然而，按照条件（2），分别把Yablo语句代入到T-模式中，即(x是自然数)。令人惊奇的是，这些语句并不会导致矛盾！事实上，可以找到模型使得PA及上述语句都得到满足。为此，考虑PA 的非标准模型，其中含有非标准数，非标准数满足自然数的全部公理，但它们比任何自然数都大。取定一个非标准数r，类似自然数，它对应的数字也表示为（因而，它的非标准解释是r）。语句Y() 对应的哥德尔数字设为b，再设T的外延为含b的单元集。在这种解释下，显然T[Y()] 对任意自然数x都为真。同时，b的出现确保了对任意自然数x也都为真，也就是说，Y() 对任意自然数x都为真。这样，对任意自然数x都为真。所以，可以断定是自然数 } 是一致的。

因此，Yablo语句序列是否出现矛盾不能一概而论。按照Ketland的说法，Yablo序列有两种不同的形式化。在第一种形式化下，Yablo悖论类似于说谎者悖论；但在第二种形式化下，它并不是严格意义的悖论，充其量只是一个ω悖论。

四、讨论

Yablo悖论究竟是循环的还是非循环的？Priest与Yablo的分歧只是表面上的。问题在于两人讨论的出发点不同。对于Yablo而言，判断一个悖论循环与否，只需要判断这个悖论中的语句是否直接地或间接地提及自身（提及性自指）。就这个意义而言，Yablo悖论不具备提及性自指，这一点是显然的，甚至不证自明的。而Priest所说的循环性，则是指悖论的构造中有没有不动点出现（不动点自指），他的工作已经证明Yablo悖论具有不动点自指。结合两人的工作，可以得到：Yablo悖论不具有提及性自指，但具有不动点自指。这两种自指性并不相同，在循环上的表现也不同。两人的观点实际上并不矛盾。

上述分析结果表明，不能如Yablo那样不区分自指性与循环性概念，笼统地断定Yablo悖论不具有（提及性）自指因而不是循环的，而必须事先说明在何种意义上谈论循环性。对于Priest的发现，可做进一步的研究。模仿Yablo序列的构造方式，对任何一个0、1无穷序列r，构造一个语句序列Yr(n)，使得对任意自然数n，如果r(n) = 1，Yr(n) 断定它后面的语句都为假，如果r(n) = 0，Yr(n) 断定它后面的语句都为真。可以证明，当且仅当使得r(n) = 1成立的n有无穷多个，序列Yr一定是悖论的。但自然数的无穷集总共有不可数多个，而在PA语言中，不动点最多有可数多个，因此，必有悖论不能在PA中通过不动点的构造产生出来的。由此，可以发现结构完全类似Yablo悖论的一类悖论，它们均不具有不动点自指，而且它们的个数是不可数多个。这个证明及其结论从另一个侧面显示了Yablo悖论的独特之处，同时，也削弱了Priest的关于不动点的论证。

悖论必然具有循环性吗？Yablo提出Yablo悖论的本意是要利用Yablo悖论来否定悖论与循环性（提及性自指）之间的必然关联性。然而，无论是Yablo还是Priest，他们关于Yablo悖论的循环性的争论，都未彻底解决这个问题。从前文分析看，Yablo模糊等同了循环性与自指性概念。按自指性的直观含义，一个语句是自指的，意味着这个语句提及它自身，即语句所指定对象中直接或间接地含有语句本身。因此，要断定语句是自指的，只需断定语句之间的指称关系。从这点来看，自指性显然是语句本身的特性，是用来描述语句本身的。相比之下，循环性却不是语句本身的性质，不可直接用于描述语句。说某语句是循环的，或者说它是非循环的，都没有意义。例如，当说“说谎者悖论是循环的”时，其真正的涵义并不是对说谎者语句本身性质的断定，而是认为说谎者语句出现的矛盾依赖于循环性。在这个意义上，循环性不是语句的特性，而是语句发生矛盾的条件。又由于语句是否发生矛盾以语句的赋值作为先决条件，因而，循环性与语句的赋值密不可分。Priest展示了Yablo悖论与不动点自指之间的关联，但不动点自指对于悖论是必要的而不是充分的。于是，进一步考虑：是否存在对Yablo悖论充分且必要的循环性，并且这个循环性就是这个悖论产生矛盾的条件呢？

借助于熊明（2009）提出的一个T-模式的推广，可解决上述问题。[11]这个T-模式的推广可看做T-模式中可能世界结构上的一种相对化：对任意可能世界u、v，如果u可通达至v，那么T[A] 在v成立，当且仅当A在u成立。如熊明（2009）所证明，当把这个模式应用于说谎者悖论，可以得到：说谎者语句中一个可能世界结构上产生矛盾，当且仅当这个结构中含有奇循环，证明见熊明（2008）。[12][13]这个结论刻画出说谎者悖论产生矛盾的充要条件，而且表明此条件的确与特定的循环性相关。这种循环性可称为矛盾循环性。

对于Yablo悖论，可以证明：Yablo序列与说谎者语句具有同等程度的矛盾性。即：如果它们中的一个在某个可能世界结构上产生矛盾，另一个在这个可能世界结构上必然也会产生矛盾。[14][15]这里仅指出，这个结论表明Yablo悖论与说谎者悖论一样，其矛盾性的产生也是基于特定的循环性的，而且它所基于的循环性与说谎者悖论完全相同。相比于说谎者悖论，Yablo悖论的独特之处在于，一方面，不同于说谎者悖论，它不具有提及性自指；另一方面，它又与说谎者悖论类似，具有相同的矛盾循环性，甚至其矛盾循环性与说谎者悖论的矛盾循环性完全相同。从这点上看，Yablo悖论可看做是说谎者悖论的一个无穷展开，在这个展开中，说谎者悖论的提及性自指被消除了，却完整保留了其中的矛盾循环性。

再来看Yablo悖论的不一致性。上一节提到，对Yablo悖论有两种形式化。下面要从纯语义的角度对这两种形式化进行分析。首先，在算术的标准模型下，这两种形式化的解释显然是等价的，即都表达了Y(n) ，当且仅当k ＞ n，Y(k)不真。这当然是对Yablo悖论的忠实表达。而Ketland的不一致性推导实际上表明了Yablo悖论的这两种形式化在标准模型下，如果保守T-模式，那么不存在不会导致矛盾的赋值。

其次，在非标准模型下，第一种形式化的解释变作：Y(a)，当且仅当b＞a，Y(b)不真；而第二种形式化的解释是：Y(n) ，当且仅当b＞n，Y(b)不真。总体而言，在非标准模型下，这里提到的语句包含了形如Y(a)的语句，其中a历遍所有的自然数以及所有的非标准数（即非标准模型中大于所有自然数的个体）。因而，第一种形式化的解释包含了所有这样的Y(a)，而第二种形式化的解释只包含了a历遍自然数的Y(a)（但Y(a) 成立的条件中却包含了非标准数指标）。从这点来看，这两种解释都不是Yablo悖论的忠实表达——因为在Yablo对其悖论的表述中，各个语句的指标只含自然数。而Ketland的分析表明在非标准模型下，如果保守T-模式，那么第一种形式依然不存在不会导致矛盾的赋值，而对于第二种形式化，若对每个形如Y(n) 的语句赋值为假，但对那些a是非标准数的Y(a)语句赋值为假，则这样的赋值就不会产生任何矛盾。

上面提到的对Yablo悖论循环性的分析都是基于标准模型做出的。因为正如上面指出的，只有在标准模型下，Ketland的两种形式化才是对Yablo悖论的忠实表达。在非标准模型下，第一种形式化在T-模式下产生矛盾，因此自然可以考虑它在T-模式的相对化下是否会产生矛盾，我们猜测结论仍然是它只在那些含奇循环的框架中产生矛盾。不论如何，在讨论Yablo悖论产生矛盾的循环性条件时，我们必须区分是在算术的标准模型下还是在非标准模型下。

五、结语

本文通过讨论Yablo悖论的两个热点问题，研究了Yablo悖论的自指性、循环性与不一致性。分析与论证得出：Yablo与Priest的自指与循环性争论所涉及的自指性涵义并不相同。本文区分了提及性自指和不动点自指，指出Yablo与Priest的自指性争论只是表面上的，事实上他们谈论的自指性并不相同。此外，本文还明确指出自指性与循环性两个概念不能等同。前者是描述语句本身的特性，后者是语句引起矛盾的条件。通过引入一个T-模式的推广，我们指出Yablo悖论具有与说谎者悖论相同的循环性。在这个意义上，可以把Yablo悖论看做是说谎者悖论的一个非自指但等循环的表述：它消除了说谎者悖论中的直接自指性，但完整保留了其中的循环性。

在对Yablo悖论的不一致性问题的分析中，我们也看到，Yablo悖论有两种强度不同的形式化。但从语义层面看，只有第二种形式化忠实地还原了Yablo对悖论的表述。而第二种形式化只是在算术的标准模型下才能推出矛盾。在这点上，如Ketland所说，Yablo悖论不是一个严格的悖论，只是一个ω-悖论。前面关于循环性的讨论正是回答了这个ω-悖论与Yablo悖论在算术的标准模型下产生矛盾的循环性条件完全相同。这个结论当然也适用于第一种形式化在标准模型下的解释。至于在非标准模型下，第一种形式化是否仍然与说谎者悖论基于同样的循环性，我们猜测结论仍然是肯定的。如果是这样，奇循环之于Yablo悖论在任何意义下都是本质性的。

[1] Yablo, S.，“Truth and Refection”，Journal of Philosophy Logic，vol.14, 1985.

[2] Yablo, S.，“Paradox Without Self-reference”，Analysis，vol.53, 1993.

[3][6] Priest, G.,“ Yablo’s Paradox”，Analysis，vol.57, 1997.

[4][7] Sorensen, R.，“Yablo’s Paradox and Kindred Infnite Liars”，Mind，vol.107, 1998.

[5][8] Beall, J.，“ Is Yablo’s Paradox Non-circular”，Analysis，vol.61, 2001.

[9][10] Ketland, J.，“Yablo’s Paradox and ω-Inconsistency”，Synthese，vol.145, 2005.

[11][12] 熊明(Ming Hsiung)，“Jump Liars and Jourdain’s Card via the Relativized T-scheme”，Studia Logica，vol.92, no.2, 2009.

[13] 熊明：《说谎者悖论的恶性循环》，《哲学研究》 2008年第11期。

[14] 熊明：《塔斯基定理与真理论悖论》，中山大学博士论文 ， 2009年。

[15] 熊明(Ming Hsiung)，“Equiparadoxicality of Yablo’s Paradox and the Liar”，Journal of Logic, Language and Information，vol.22, no.1, 2013.

责任编辑：罗 苹

B81-05

A

1000-7326（2016）12-0036-05

赵艺，华南师范大学政治与行政学院副教授；熊明，华南师范大学政治与行政学院教授（广东 广州，510631）。