基于数据变换和背景值优化的GM(1,1)模型

李昌兴，谢笑娟，李思齐，黄艳虎(1.西安邮电大学a.理学院;b.通信与信息工程学院，西安71011;.兴业银行 西安分行西长安街支行，西安71011)

基于数据变换和背景值优化的GM(1,1)模型

李昌兴1a，谢笑娟1a，李思齐2，黄艳虎1b
(1.西安邮电大学a.理学院;b.通信与信息工程学院，西安710121;2.兴业银行 西安分行西长安街支行，西安710121)

文章为了提高GM(1,1)模型的预测精度，提出一种基于数据变换和背景值优化的GM(1,1)模型。考虑通过弱化缓冲算子得到原始数据序列的缓冲序列，并对缓冲序列进行对数变换，而后对GM(1,1)模型的背景值进行优化。实例结果表明新建GM(1,1)模型降低了误差，提高了预测精度。

GM(1,1)模型；数据变换技术；弱化缓冲算子

0 引言

灰色系统理论自创立以来，在教育、地质、经济、农业、管理等众多领域得到了广泛应用[1,2]。GM(1,1)模型作为灰色系统理论的核心内容，许多学者对其进行了深入而广泛的研究。如何提高GM(1,1)模型预测精度，一直是学者们关注和研究的重点[3-5]。谭冠军、李星毅、王洪国等在已有背景值的基础上，重构出不同背景值的GM(1,1)模型，使其适应于高、低指数增长序列建模，并用算例结果的精度表明此方法的有效性和优越性[6,7]。党耀国等分别建立了以x(1)(n)或x(1)(m)为灰色微分模型的初始条件，对GM(1,1)模型进行改进，并通过实例验证模型的可靠性与实用性。曹昶、刘解放、崔立志等通过正弦函数变换、余切函数变换、对数函数变换等数据变换技术，改善了原始数据序列的光滑度，并给出了此类方法的理论证明，最后通过实例说明此方法的实用性和有效性[9-11]。

以上对GM(1,1)模型提出的改进方法对模型的预测精度有所提升，但GM(1,1)模型自身存在的缺陷尚未得到有效改进。本文在分析GM(1,1)模型传统背景值选取的基础上，提出一种基于数据变换和背景值优化的GM(1,1)模型。首先，通过弱化算子弱化原始序列随机性以扩大模型的适用范围。其次，通过数据变换技术以提高数据序列的光滑性。最后，对GM(1,1)的初始值和背景值进行优化降低总体误差、提高预测精度，并通过实例予以验证。

1 GM(1,1)模型误差产生原因分析

1．1 GM(1,1)模型过程

设非负原始数据序列为：

X(1)记为X(0)的一次累加序列，即：

由X(1)构造背景值序列：

其中：

GM(1,1)模型的灰微分方程为：

式(1)的解为：

参数a和b的最小二乘估计为：

其中：

还原为原始数据：其中：

1．2 误差原因分析

由上述建模过程可知，发展系数a、灰色作用量b以及待定常数c是影响模型预测精度的重要因素,其中a和b的值取决于原始序列和背景值的构造，c的值取决于

1.2.1 背景值的构造

关于真实背景值，在区间[k-1，k]对式(1)两边取积分可得：

进一步可得：

由式(3)和式(5)可知，真实背景值为：

用式(2)代替式(6)是产生误差的主要原因。

定理1[12]：真实背景值等价于x(1)(k)， x(1)(k-1)和参数α的线性组合，即存在α∈[0，1]，使：

其中k=2，…，n.

1.2.2 弱化缓冲算子

a和b影响因素除背景值外，另一个为原始序列，而原始序列的随机性是影响预测精度的关键因素。现实生活中，往往由于外界冲击因素干扰的存在，从而加快(减缓)了原始序列的发展趋势，使得数据失真，导致模型精度不高。刘思峰将该类系统称为冲击扰动系统，并提出利用缓冲算子解决冲击扰动系统的预测问题，同时构建了较完善的缓冲算子公理体系[13]。在此基础上，学者们分别构造了加权平均弱化缓冲算子、加权几何平均弱化缓冲算子、几何平均弱化缓冲算子等若干具有普遍意义的实用弱化算子。缓冲算子理论是对获得的数据序列进行某种生成，弱化其随机性，显示其规律性，排除外在冲击所带来的干扰，得到能够反映系统变化规律的数据序列。

定理2[14]：设非负原始序列为：

称：

为X(0)的缓冲序列，其中：

则当X(0)为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时，D1皆为弱化缓冲算子。

1.2.3 数据变换技术

GM(1,1)建模的前提是满足准光滑性、准指数性和级比检验，即可知原始序列的光滑性等也是影响预测精度的关键因素。数据变换就是对原始数据序列进行某种运算，从而使新的数据序列朝着提高数据序列的光滑性、有利于级比压缩等方向进行，来提高预测精度。

2 数据变换与背景值优化的GM(1,1)模型

第一步：以式(8)对原始数据序列进行弱化，弱化数据序列的随机性；

第二步：将弱化后的数据序列进行数据变换，提高数据序列光滑性；

第三步：以数据变换后的序列来进行GM(1,1)建模，求解背景值式(7)中的α。

由式(3)和式(7)可得：

即：

取α*满足

从而得到背景值：

再求待定系数c，取m*使得其中

第四步：数据变换技术的数据还原；

第五步：弱化算子数据还原

3 实例分析

为叙述方便起见,记原GM(1,1)模型为GM(1,1)①，记文献[5]背景值和初始值同时优化的GM(1,1)模型为GM(1,1)②，记文献[11]经过对数函数变换的GM(1，1)模型为GM(1,1)③，记本文改进GM(1,1)模型为GM(1,1)④。这里用2004—2012年我国果蔬的消费量进行数据模拟。基于水果的消费量建立GM(1,1)①，GM(1,1)②,GM(1,1)③，GM(1,1)④，并求出时间响应式。

(1)GM(1,1)①模型的时间响应式：

(2)GM(1,1)②模型的时间响应式：

(3)GM(1,1)③模型的时间响应式：(c=5500)

对数函数数据还原：

(4)GM(1,1)④模型

将水果的原始数据序列进行弱化后，进行数据变换技术，这里用对数变换：

这里取c=5500，然后建立GM(1，1)模型。

由式(9)可得α*=0.0018时最优，即背景值：

可得改进后GM(1,1)模型的时间响应式：

由式(11)进行对数函数还原；式(10)进行弱化算子还原。

水果消费量模型精度比较如表1所示。类似可求得蔬菜的消费量各类GM(1,1)模型的时间响应式以及模型误差分析。蔬菜消费量模型精度比较如表2所示。

表1 水果消费量模型精度比较

表2 蔬菜消费量模型精度比较

4 总结

本文通过弱化算子、数据变换将原始数据序列进行优化，用优化后数据序列建立背景值优化的GM(1,1)模型，不仅能够有效地消除数据序列的随机性，而且能提高数据序列的光滑度，减小背景值所带来的误差，从而提高模型的预测精度。对2004—2012年我国果蔬消费量实例的数据模拟验证结果表明，本文的改进方法能较好地反映果蔬消费量信息，平均相对误差较小，在时间序列预测方面有一定实用性。

[1]白洪伟.基于灰色预测模型的滑坡变形监测的应用研究[J].阴山学刊(自然科学版),2015,(3).

[2]李星毅,李奎,施化吉,周双全.背景值优化的GM(1,1)预测模型及应用[J].电子科技大学学报，2011,(6).

[3]徐宁,党耀国,丁松.基于误差最小化的GM(1,1)模型背景值优化方法[J].控制与决策，2015,(2).

[4]王建国,刘高生,孙伟.电磁场作用下循环水污垢热阻的灰色预测模型实验研究[J].中国电机工程学报,2013,(11).

[5]董奋义,田军.背景值和初始条件同时优化的GM(1,1)模型[J].系统工程与电子技术，2007,(3).

[6]谭冠军.GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用(Ⅰ)[J].系统工程理论与践,2000,(4).

[7]刘乐,王洪国,王宝伟.基于背景值构造方法的GM(1,1)模型优化[J].统计与决策,2009,(1).

[8]党耀国,刘思峰,刘斌.以为初始条件的GM模型[J].中国管理科学, 2005,(1).

[9]曹昶,樊重俊,胡兆龙.基于正弦函数变换的灰色预测模型研究及其应用[J].数学杂志,2013,(4).

[10]刘解放,刘思峰,方志耕.基于新型数据变换技术的灰色预测模型及应用[J].数学的实践与认识,2015,(1).

[11]崔立志,刘思峰.基于数据变换技术的灰色预测模型[J].系统工程, 2010,(5).

[12]徐宁,党耀国,丁松.基于误差最小化的GM(1,1)模型背景值优化方法[J].控制与决策,2015,(2).

[13]刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子[J].华中理工大学学报,1997,(1).

[14]崔立志.灰色预测技术及其应用研究[D].江苏:南京航空航天大学, 2010.

[15]2004—2012年中国统计年鉴[M].北京:中国统计出版社.

（责任编辑/浩 天）

N941.5

A

1002-6487（2016）24-0071-03

李昌兴（1962—），男，陕西西安人，博士，教授，研究方向：智能计算与决策分析。

谢笑娟（1989—），女，陕西西安人，硕士研究生，研究方向：模糊统计与智能决策。