改进灰色模型高铁隧道路基沉降分析与预测

靳鹏伟，何永红,2

(1.湖南科技学院 土木与环境工程学院 湖南 永州 425199；2.中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙 410083)

改进灰色模型高铁隧道路基沉降分析与预测

靳鹏伟1，何永红1,2

(1.湖南科技学院 土木与环境工程学院 湖南 永州 425199；2.中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙 410083)

针对灰色模型在沉降预测中存在一定局限性的问题，在灰色预测的基础上进行马尔科夫预测，利用马尔科夫状态转移矩阵来改进灰色系统模型，以弥补灰色预测对随机波动大的数据序列预测精度低的缺陷。采用某高铁隧道监测数据以及某高铁路基的沉降监测数据进行工程实例分析，得出该模型对于变形曲线波动较大处仍有较好的拟合与预测效果，提高了预测精度。

灰色模型；马尔科夫；路基；沉降预测

沉降变形分析与预测是确保高速铁路质量与安全的关键环节[1]，随着高速铁路建设进程的推进[1-3]，高速铁路建设对沉降变形分析与预测提出进一步的要求[4]，做好沉降分析工作对于高速铁路的健康发展具有重大意义[5]。灰色预测(GM )模型作为一种典型的预测模型[6]，以显著的优势被广泛应用于变形分析与预测中。陈永奇于1993年在第7届FIG会议中介绍了灰色理论在变形监测数据处理中的应用。冯震等[7]对GM(U)模型在铁路路基沉降预测方面进行了研究。周吕等[8]给出自适应灰色模型与残差修正灰色模型在高铁中的对比应用。袁明月等[9]给出灰色系统与时间序列在高铁沉降变形中的对比应用。GM(1，1)预测模型虽然在沉降变形分析与预测得到了广泛应用，但GM(1，1)模型对规律不明显、数据变化较大的样本预测时预测结果并不理想，由于灰色系统通过累加生成的数列对数据发展的规律产生影响，并且在许多情况下，观测数据有时是杂乱无章的，观测数据并不符合一定的规律。本文给出一种灰色系统与马尔科夫相结合的残差修正预测模型分析方法，首先对变形监测数据采用灰色模型拟合，得到变化总体趋势，然后进行马尔科夫预测，用来弥补灰色预测对随机波动大的数据序列预测准确度低的缺陷[10]。为检验该算法的有效性，依据实测沉降变形监测数据[5]，通过对比分析可知，灰色系统与马尔科夫相结合的预测模型使原有模型的预测效果更好。

1 GM(1，1)模型及其改进算法

1.1 GM(1，1)模型

设某一变形观测对象的非负观测数据为X(0)={X(0)(i)，i=1，2，…，n}，建立灰色预测模型：先对X(0)进行一次累加[11]：

X(1)={X(1)(k)，k=1，2，…，n}

(1)

然后对X(1)建立下列微分方程：

(2)

即GM(1，1)模型[12]，a,b由式(a,b)T=(BTB)-1BTYM确定，其中

求得(2)式的解即预测值为：

(3)

1.2 改进灰色马尔科夫残差修正模型

GM(1，1)模型对于波动性变化的监测数据，其预测精度不能令人满意。为了提高预测的精度，文献[9]提出残差修正建立的灰色GM(1，1)模型[13]，虽然该模型考虑了残差的变化趋势，但是残差符号的变化规律并没有考虑，而残差符号的变化具有较大的随机性，马尔科夫预报适合于随机波动较大的预报问题[9]。

改进的灰色马尔科夫残差修正模型的建模过程如下[14]：

1)对原始数据X(0)用GM(1，1)建模，得到残差序列的绝对值序列

(4)

2)对残差序列绝对值重建GM(1，1)，得到修正模型：

(5)

(6)

(7)

下面将灰色模型状态转移概率用马尔科夫过程来估计，进而确定k>n时残差的正负符号，步骤如下[9]。

1)确定状态，将预测数据序列残差分为两种状态，即残差为正时取+1，残差为负时取-1，见式(6)，得到数据序列残差数据状态序列；

2)根据残差状态(+1，-1)求出第一步转移概率矩阵p；

3)确定初始残差状态概率分布π(0)，π(0)=[π1(0),π2(0)]，其中π1(0)为初始状态残差是正数时的概率，π2(0)为初始状态残差是负数的概率；

4)根据状态转移公式求出第t期数据状态转移的结果π(t)=π(0)pt，其中π(t)第t时刻残差状态概率，pt为经过t步转移后的转移概率矩阵；取出现概率大的状态，如果出现正负号的概率相等，此时一般取上期确定的符号。

因此，灰色马尔科夫预测模型是用GM(1，1)模型拟合系统的发展变化趋势，并以此为基础再对随机波动大的残差序列进行马尔科夫预测，来弥补灰色预测对随机波动大的数据序列预测准确度低的缺陷，将灰色预测与马尔科夫预测相结合，可提高预测精度。

2 实验结果及分析

2.1 工程实例——“平稳”型变形趋势

本文以贵阳至广州高速铁路某隧道沉降监测为例，使用Trimble的DINI03 电子水准仪进行变形观测，精度满足国家二等水准要求，1周观测1次，现依据该隧道某监测点连续9期的观测数据，沉降变形分析分别采用GM(1，1)模型和改进灰色马尔科夫残差修正模型对比分析，以下简称改进灰色马尔科夫残差修正模型为改进模型。

取监测点的前9期数据建立模型并对第10期数据进行预测。从表1中可看出，GM(1，1)模型拟合残差最大值为0.13 mm，最小值为0.01 mm，预测第10期残差为0.23 mm；改进模型拟合残差最大值为0.08 mm，最小值为0.00 mm，预测第10期数据残差为0.17 mm，改进模型的均方误差将传统算法的均方误差从0.090 9降低到0.061 7；改进模型的平均绝对误差将和平均绝对误差将传统算法的均方误差从0.028 9降低到0.000 7，2种模型的建模效果都不错[15]，但改进算法的预测效果又稍微优于传统算法。

表1 2种模型预测结果对比Table 1 Comparison of the predicted results of the two models

为更直观地显示预测效果，绘制了变形分析曲线，如图1所示，该沉降监测点的沉降曲线呈现出平稳性变形趋势，2种模型整体趋势正确，但局部地方存在拟合不到位，在一定程度上影响了模型效果。图2为2种模型预测残差曲线对比，改进算法的残差在初期较为平稳，而 GM(1，1) 模型的残差一直波动且波动较大。

综上分析可知，传统GM(1，1)模型与改进模型对“平稳”型变形趋势的监测数据分析与预测适用性较好，2个模型的预测精度都比较高，GM(1，1)模型对于“稳健”型变形趋势分析更为适用。

图1 原始值与两种模型预测值对比Fig.1 Comparison between the original value and the predicted values of the two models

图2 2种模型预测残差曲线对比Fig.2 Comparison of the residual curves of two models

2.2 工程实例——“突变”型变形趋势

工程体“突变”型变形趋势主要表现为：初期基本稳定，中期某时段出现大的变形，随后又逐步趋于稳定。以某高速铁路某段路基的沉降变形监测数据为例，该路基观测时间为8个月，将前 20 期沉降观测数据序列作为建模数据，分别用 GM(1，1) 模型、改进模型建模预测第21期数据，并与原始数据对比分析。

原始数据高程观测值[6]X0=[72.654 42 72.654 17 72.652 13 72.652 02 72.651 42 72.651 15 72.652 02 72.650 77 72.650 05 72.650 83 72.650 65 72.650 56 72.648 57 72.649 59 72.647 86 72.649 01 72.649 01 72.648 66 72.647 80 72.647 54 ]，单位为m，为更细致的分析监测点的变形趋势，对原始数据高程观测值数据进行处理，把观测数列减去观测数列的最小值，单位转换为mm。对观测数据分别采用传统的GM(1，1)和改进模型预测第21期数据。

由图 3可知，GM(1，1) 模型预测曲线呈线性且明显偏离实测曲线，在中部波动位置与实测曲线偏差较大。与实测曲线吻合度最高的是改进算法，模拟与预测效果都比较好，有效掌握了实测曲线的细节信息。

图3 原始值与2种模型结果对比Fig.3 Comparison between the original value and the results of the two models

图4 2种模型预测残差对比Fig.4 Comparison of two models for predicting residual error

上述为定性比较2种模型的预测效果，下面定量比较这2种模型的精度评判结果，如表2～3 所示。从表2中可看出，本文方法明显优于GM(1，1)模型。

表2 2种模型预测结果对比Table 2 Comparison of the predicted results of the two models

从表3中可以看出，改进模型的均方误差为0.232 8 mm，传统GM(1，1)算法的均方误差为0.660 5 mm，改善率为64.75%；改进模型的平均绝对误差为0.008 9 mm，传统模型的平均绝对误差均方误差0.030 3 mm，改善率为70.62%；改进模型优于GM(1，1)模型。

表3 2种模型预测结果对比Table 3 Comparison of the predicted results of the two models

综上分析可知，对于“突变”型变形趋势，即对于具有波动性变化的变形监测数据，灰色马尔科夫残差修正模型的建模效果较好，可有效得到实测曲线的细节信息。

3 结论

1)针对灰色系统模型在沉降预测中存在一定局限性的问题，通过在灰色预测的基础上进行马尔科夫预测，利用马尔科夫状态转移矩阵来改进灰色系统模型，来弥补灰色预测对随机波动大的数据序列预测精度低的缺陷。

2)通过2个工程实例分析表明，对于“平稳”型变形趋势和“突变”型变形趋势即具有波动性变化的变形监测数据，改进灰色马尔科夫残差修正模型的建模效果更好，尤其是具有“突变”型变形趋势的变形监测数据，结果明显高于GM(1，1)模型建模预测，可有效得到实测曲线的细节信息，对解决各领域内广泛存在预测问题具有一定的使用价值。

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Settlement analysis and predictation of high-speed rail tunnelsubgrade based on the improved Gray model

JIN Pengwei1，HE Yonghong1,2

(1.School of Civil and Environmental Engineering, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425199, China;2.School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China)

In view of the certain limitations of the grey model in the settlement prediction, this article made the Markov prediction on the basis of the grey predictation. The Markov state transition Matrix was used to improve the grey system model, and consequently, the defects of low accuracy for the stochastic voluctility data sequence was compensated. The article analyzed engineering examples in a high-speed rail tunnel and subgrade settlement monitoring data, it is concluded that the model still has better fitting and forecast result with strong deformation curve fluctuations, and thus improves the prediction accuracy.

Grey model；Markov；subgrade；settlement prediction

2016-08-15

国家自然科学基金资助项目(41461089)；湖南省教育厅科学研究项目(13C345)；湖南省教育厅科学研究重点项目(15A074)

何永红(1978-)，女，河北定州人，副教授，博士研究生，从事变形分析与处理研究与教学；E-mail: heyonghong2004@163.com

U216

A

1672-7029(2016)12-2355-05