“用一元二次方程解决问题”第1课时教学设想

江苏省淮安市金湖县金南中学 杨兆忠

“用一元二次方程解决问题”第1课时教学设想

江苏省淮安市金湖县金南中学 杨兆忠

本文以苏科版初中数学九年级上册第一章第4节“用一元二次方程解决问题”的第1课时为例从教材分析与学情分析，教学目标分析，教法与学法，教学过程等几个方面阐述教学设想。

一、教材分析与学情分析

一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的延续，又是二次函数学习的基础，同时也是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。

从宏观来看，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等知识，感受了方程模型的作用和价值，已经积累了一些用方程解决问题的经验；从微观而言，学生已经学过一元二次方程的解法，为本节课的学习做好了铺垫。本章第4节第一课时在教材中起着承上启下的作用，直接影响学生后续的学习效果。本节课笔者将以实际问题为载体，借助有一定挑战性和思考性的现实问题情境，通过学生的自主探索研究，抽象出一元二次方程。在解决数学内部问题的过程中，帮助学生感悟数学模型的简明及其使用的广泛性，从而“由内而外”体现数学模型应用价值的过程。

对初中学生来说，由于缺乏一定的社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，因此将实际问题提炼为数学模型是我们设计教学方案时不容忽视的地方。

二、教学目标分析

数学课程标准（2011版）P28页“第⒈方程与方程组”要求中明确了：第⑴点能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；第⑺点理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程；第⑻点会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；第⑽点能根据具体问题中的实际意义，检验方程的解是否合理。结合课标具体要求和初三学生的认知特点，笔者确定了如下教学目标：

1.知识与技能：根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程解应用题、并能根据具体问题的实际意义，讨论方程的根，检验结果的合理性；

2.过程与方法：经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力；

3.情感、态度与价值观：积极参与数学活动、感受成功的快乐、认识数学具有应用广泛的特点，体会数学的价值；敢于发表自己的想法，能独立思考、合作交流。

重点：掌握建立一元二次方程的有效模型解决实际问题的过程.学会用列一元二次方程的方法解决有关图形面积问题。

难点：如何找出图形面积问题中的等量关系、根的检验。

三、教法与学法

教师引导，学生动手操作、自主探索、合作交流，充分发挥学生的主体地位。课堂中，教师通过提供适当的问题情境促使学生的反思，引起学生必要的认知冲突，从而让学生最终通过其主动的思辨建构起新的的认知结构。

四、教学流程

（一）课堂结构

情境引入→合作探究→新知建构→练习巩固→小结提升。

（二）教学简要过程

1.情境引入

一个矩形的长为3cm，宽为2cm。

（1）该矩形的周长为_______cm，面积为_____cm2。

（2）若该矩形的长为3cm，周长为10cm，则它的宽为_____ cm。

（3）若该矩形的周长为10cm，则它的长一定是3cm，宽一定是2cm吗？为什么？

矩形中长、宽与周长满足：__________________。

（4）矩形的周长为10cm，设该矩形的长为xcm，则宽为______cm。

设计意图：通过问题串对矩形长、宽和周长关系进行辨析，为正确表示出矩形的各边降低难度，从而为顺利找到长×宽=面积这一相等关系列出方程做好保障。心理学研究表明，当外部刺激唤起主体的情感活动时，就更容易成为注意的中心，由此我选择问题串作为情境引入，以此提高学生学习兴趣。

2.合作探究

问题1一根长22cm的铁丝。

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由。

通过一根22cm的铁丝演示抽象出数学模型，找到相等关系列求方程，检验根的实际意义并回答问题。1.实物演示后，学生自己独立思考，找寻等量关系：长+宽=1/2周长、长×宽=面积；2.如何设未知数，列方程；3.怎样解方程?方程的解是否都符合实际意义?

设计意图：通过实物演示直观得出22cm与矩形周长的关系、从而降低矩形已知一边表示另一边的难度，审清题意后，抓准问题中的数量关系，找出相等关系，再设未知数和列方程，有利于理清思路，降低列方程解应用题的难度，从而发展学生思维能力。

3.新知建构

例1 如图所示学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为12m2的矩形自行车棚,一边利用图书馆的后墙,并利用已有总长为10m的铁围栏，（1）请你来设计,如何搭建较合适？（2）如果图书馆后墙可利用长度为5m，那么应如何搭建才合适?

设计意图：这一问题源于校园生活，学生熟悉但未必深入研究。本题中实则是上题的变式，各边关系满足：2宽+1长=总长，对这个问题的理解与处理非常关键。请学生独立审题，并设计问题：长怎样表示?相等关系是什么?方程的根是否都符合题意?对第2问中可利用长度的理解源于学生生活，体现对实际问题的感受。在层层递进的问题串下帮助学生理清数量之间的关系，突破难点，建立数学模型。得到方程：x（10－2x）=12解方程,并引导到学生检验方程的解是否符合实际意义：当x=2时，10－2x=10－2×2=6＞5，无意义。经历审、设、列、解、验、答六环节，培养学生规范的答题格式，以及严谨客观的良好思维品质。

4.练习巩固

（1）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。是否可以围成面积为45m2的花圃，若可以围成，此时AB的长是多少m？

（2）县实验中学为美化校园，准备在长32m，宽20m的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计。现选取了几位同学设计的方案（图纸如下）：

①甲同学方案如图，已知设计草坪的总面积为540m2，道路的宽为多少？

②乙同学方案如图，已知设计草坪的总面积为540m2,道路的宽为多少？

③丙同学方案如图,已知设计草坪的总面积为540m2。道路的宽为多少？

⑷其他方案

第1题针对例题再次展开变式研究，第2题注重通过平移、拆分重组等方法找不同方案下新矩形的长和宽（这是解决问题的关键）。初三学生已经有较强的知识迁移能力，通过变式练习，类比例题的解题思想方法进而帮助学生加深对新知的理解，提高解决此类问题的能力。

5.小结提升

学而不思则罔，最后引导学生回顾收获与交流感悟，帮助形成知识体系。

（1）通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？

（2）用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？

6.作业：(略)

建构主义认为，教学方法的核心是强调学习者是一个主动的积极的知识构建者。本节内容的教学设想，从审题、到找等量关系、列方程、解方程、检验等一系列活动都从学生实际出发，借助适当的问题情景或实例促使学生反思，引起学生的认知冲突，从而让学生最终通过主动的思考建构起新的认知结构。