初中代数等差数列的研究与应用

张志敏

（青岛市第二十六中学 山东青岛 266003）

初中代数等差数列的研究与应用

张志敏

（青岛市第二十六中学 山东青岛 266003）

德国著名数学家高斯9岁时，老师在算数课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水。他的同学无不为之惊奇，小高斯得出的结果被确定是正确的。

原来小高斯在认真审题的基础上，根据题的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以=101×50=5050

我们再换一种思路，用数形结合的思想来分析一下这道题。图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层。将图1倒置后与原图拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为

在数学上，人们把1～100这些数中的每一个数都叫做一个项，并把这样的一串数称作数列。“高斯算法”其实就是数列的求和问题。有了它，好多数学题和生活中的问题解答起来就方便多了。

例如：在解决找规律的问题时，我们会经常遇到等差数列。来看看下面的例子。如图是用小棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去：A、当每边摆10（即n=10）时，则共有多少个最小的三角形。

B、当第n个图案时，则共有多少个最小的三角形（用S表示）

当n=1时，S=1；当n=2时，S=4=1+3；当n=3时，S=9=1+3+5；

所以，A、当n=10时，S=1+3+5+7=……+19=102=100

B、当n=n时，S=1+3+5+7=……+（2n-1）=n2

进一步思考：A中需要的小棒总数为多少根？

B中需要的小棒总数S与n的关系式又是什么？

当n=1时，S=3；当n=2时，S=9；当n=3时，S=18；

这就是一个数列：3、9、18、30……。此数列是3的倍数，即3×1，3×3，3×6，3×10……这样第n项的数据也就清楚了。也有人说：受原题的影响，小棒与数三角形个数有密切关系：

当n=1时，相当于1个△；当n=2时 相当于（1+2）个△；当n=3时，相当于（1+2+3）个△；……当n=n时，相当于（1+2+3+……+n）个△

等差数列的知识没有在初中课本上讲解，但是实际问题当中已经有很多的应用，例如握手问题。

某中学举办毕业聚会，参加聚会人数有60人时，每两人都要握一次手相互告别，那么握手次数为多少次呢? 若有600人参加聚会，总握手次数又是多少次呢?

解析：当人数有60人时，握手次数为：

当人数有600人时，握手次数为：

当人数有x时，握手次数为：

再来看看变式练习：

题目分析：

仔细观察这个算式，发现他很有规律地出现着一些“减数”。因此，计算时应特别细心。在此介绍三种解法。

解法一：变减为加，整体推算。（其中减数为4的倍数，共28÷ 4=7（个））

解法二：分组累计，从头算起每四个数为1组，分别计算每组数的得数为：2、10、18……50。其和为：（2+50）×7÷2=182

解法三：加数、减数分别统计。减数全部拿出以后，剩下的加数是：

1+2+3+5+6+7+9+…+25+26+27把这些加数每3个一组，并求出每组之和：

七个减数的和为：（4+28）×7÷2=112，原式的得数为：294-112=182

总之，高斯的方法非常巧妙，里面蕴涵的数学道理非常深刻，思考问题也可以从不同的角度用不同的方法。变换不同角度看问题的数学意识非常重要，是学生进行数学学习的重要目标之一。