圆锥曲线综合问题解答中需注意的几个细节

◇ 山东 房 超



圆锥曲线综合问题解答中需注意的几个细节

◇ 山东 房 超

圆锥曲线是高中数学的主干内容,此类命题综合性较强,对学生的推理、论证、计算能力要求较高,解题中虽然部分同学能够顺利找到解题思路,但因计算烦琐,常使解题半途而废．本文以一道高考综合题为例,就解题中需要注意的几个细解进行说明．

(1) 当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(2) 当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.

本题充分地考查了解析几何本质——用代数方法解决几何问题.考查的基础知识有直线方程的引入方法、直线与曲线的位置关系等，考查的思想方法有方程思想、转化与化归思想，较强的计算、变形能力是正确解题的关键.

1 认真审题,善于挖掘隐含条件

隐含条件也是已知条件,但题目中并没有明确说明,是需要我们深入分析挖掘才能得出的条件．

如本题中曲线方程中含有参数t,但指出椭圆焦点在x轴上,故可得t>3;由条件MA⊥NA,知2直线斜率之积为-1;由条件2|AM|=|AN|可知问题的求解中要利用到弦长公式等等．这些信息都为后面的解题奠定了基础．

2 基础题的解答不骄不躁

此类问题通常设置2或3问,第(1)问较为基础,只要规范解答、准确计算,即可顺利得出所求结论．

(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

因为AM⊥AN,所以

因为|AM|=|AN|,k>0,所以

整理得(k-1)(4k2-k+4)=0,而4k2-k+4=0无实根,所以k=1.

所以△AMN的面积为

3 明确问题的解答通法,找到解题切入点

此类问题通常以直线和曲线位置关系为背景,处理问题的常用方法：通过坐标法将几何问题代数化后,引入直线方程后利用代入消元法、判别式法及根与系数的关系求解．

图1

(注意对判别式的检验)

利用弦长公式得

(对于|AN|的求解,可利用直线AM与AN斜率的关系进行代换,进而简化计算．)

因为2|AM|=|AN|,所以

综上,对于圆锥曲线综合问题的处理,通过本题的探究历程来看,在习题教学中要引导学生学会思考、联想、转化,提炼归纳解题策略及数学思想方法,完善认知结构，深刻领悟解题原则,从而在错综复杂的变化中,抓住问题的本质特征,培养学生研究、探索问题的能力.简化解题过程是我们追求的目标,由于圆锥曲线问题运算量大、综合性较强,很多问题可能会因为冗长的运算、烦琐的推理而导致无法进行到底,从而半途而废.因此,在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策略,寻求突破点,选用适当方法,以求做到简洁、合理解题.

山东省济南市长清第一中学)