一题多变探究解析几何中三角形面积问题

◇ 江苏 沈永彬



一题多变探究解析几何中三角形面积问题

◇ 江苏 沈永彬

变式训练是锻炼、培养学生解题思维的有力工具.对一道题目的变式主要包括题目条件的变化、所给形式的变化、背景的变化等,通过这些变化可有效考查学生应变能力、分析问题及解决问题的能力．下面举例分析．

例1已知直线l的方程为x+my-2m-1=0且m≠0．设直线l与x、y轴的正半轴分别交于M、N2点,O为坐标原点,求△MON面积最小时l的方程．

解析方法1分别令y=0或x=0,得A(2m+1,0)、B(0,2+1/m).

此时直线l的方程为2x+y-4=0．

点评求三角形面积的最小值,关键是构造出面积关系式,本题从2种视角分别利用均值不等式求出三角形面积的最小值．应用中注意均值不等式成立的条件,即“正、定、等”．

1 改变问题形式

例2在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l,且l与x、y轴分别交于A、B2点,给出下列4个命题:

① 存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有1条;

② 存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有2条;

③ 存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有3条;

④ 存在正实数m,使△AOB的面积为m的直线l仅有4条．

其中所有真命题的序号是________.

解析易知直线l过定点P(2,3).如图1所示,当直线l交x轴于负半轴、交y轴于正半轴时,△ABC的面积为任意正实数,不存在最值．

如图2,当直线l交x轴于正半轴、交y轴于负半轴时,△ABC的面积为任意正实数,不存在最值．

如图3所示,当直线l交x、y轴于正半轴时,此情况同例1,△ABC的面积存在最小值,设为s.

图1

图2

图3

当m

当m=s时,图1、2、3的情况中各有1条直线满足条件,共3条．

当m>s时,图3中有2条直线满足条件,图1、2的情况中各有1条直线满足条件,共4条．

故正确答案为②③④．

点评本题从形式上看与例1不同,但深入探究问题的本质不难发现,依然是求面积最值问题．从条件中看,没有指明点A、B所在的位置,也可能在负半轴上．故需分情况讨论求解．

2 改变问题背景

例3设m、n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为________.

点评本题以圆为新的背景,将例1中直线过定点的条件改为直线与圆相交所得的弦长为定值,从而利用垂径定理构造出m、n的定值关系,利用均值不等式求面积最值．

3 改变限制条件

例4圆x2+y2=4的切线与x、y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P.

(1) 求点P的坐标;

图4

(2) 略．

点评本题将限制条件改为直线与已知圆相切,通过引入切线方程y=kx+b,利用切点与圆心的连线垂直切线的性质,将b用k的表示,再利用例1求解方法构造出面积表达式,借助均值不等式求解．

综上,一题多变的训练能有效考查学生灵活利用所学知识分析问题和解决问题的能力．通过探究问题本质,找出共性,以不变应万变快速解决问题．

江苏省宝应县安宜高级中学)