二项式定理的基本应用

程玉莹

高考中二项式定理是必考内容，主要考察展开式的运用及二项式系数的性质。为更好的学习和掌握这部分知识，现将其常见题型归纳如下：

一、求特定项或特定项的系数

这是二项式定理的典型题型，解法是确定通项公式中r的值或取值范围，但应注意二项式系数与项的系数的区别和联系。

例1：在（1-x2）20的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值.

解析：

由题，得4r-1=r+1或4r-1+r+1=20，解得r=4.

例2：若展开式中前三项系数成等差数列，求展开式中含x的七次幂的项及其系数.

解析：

由得n=8，由，令解得r=7.所以x七次幂的项为，含x的七次幂项的系数为.

二、求多项式和或积中特定项的系数

解此类题要注意观察多项式的结构特征，可先求和再求含特定项的系数或用赋值法（赋值要恰当）。

例3：的展开式中，的系数等于         .

解析：

因（x+1）+（x+1）2+（x+1）3+…+（x+1）6=（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）6，所以展开式中的系数为===.

例4：若，则的值为         .

解析：所求变形为，而与分别是已知式在时的值.所以=.

三、求系数的最值

解此类问题应注意所求项的系数与二项式系数的区别和联系，并注意符号的变化规律。

例5：（x-1）9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是第       项？

解析：

因n=9，展开式中共10项，故中间两项，即第5项和第6项的二项式系数最大.但第6项的系数是负值，所以第5项的系数最大.

四、三项式转化成二项式

本题运用转化思想：转化时式子的变形要灵活;善于变换项的位置利于计算;注意展开式中r，k的关系和取值范围。

例6：求展开式中的常数项.

解析：

因可看作二项式，其通项为，其中k=0，1，2，3，10，若求原式常数项只需求展开式的常数项.因 ，其中r=0，1，…，k，所以由题意令k-3r=0，则k=3r，即k是3的倍数，k=0，3，6，9.当k=0时，r=0，;当k=3时，r=1，;当k=6时，r=2，;当k=9时，r=3，.故原式的展开式中的常数项是.

五、求参数

关键求展开式中某项的系数，再结合条件求参数。

例7：已知的展开式中x3的系数为，求实数a的值.

解析：

因，由题意知，解得r=8.所以含x3的项为第9项，其系数为，解得a=4.

六、整除和求余数

关键是把所求问题转化为二项式问题，但要注意结合二项式展开式和整除的有关性质。

例8：①求证：能被31整除;

②求除以9的余数.

解析：

①证明：因，展开等于，显然括号内为整数，所以原式能被31整除.

②解：，由展开等于，进一步整理，可得，显然括号内的数是正整数，故S被9除的余数是7.

七、求近似值

对估算求值问题，常借助二项式定理求解。

例9：计算1.056.（精确到0.01）

解析：

1.056=（1+0.05）6=1+C26·（0.05）2+C 36·（0.05）3+…=1+0.3+0.0375+…≈1.34.

所以1.056≈1.34.

八、证明不等式

用二项式定理证不等式时，根据n的最小值，确定展开式的项数的最小值，然后视具体情况取定其中的几项即可。

例10：求证：.

解析：

证明：因为，所以的展开式中至少有四项.又因为，所以.

九、求和

二项式定理从右往左看，是把一个多项式合并，或者是一个求和公式，利用它可解决求和问题。

例11：在（1+x）n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则（1-x2）n等于（       ）

A.0        B.pq

C.p2-q2    D.p2+q2

解析：因（1+x）n的展开式中奇数项之和为p，偶数项之和为q，所以（1+x）n的和为p-q.又由（1-x2）n=（1-x）n（1+x）n（p+q）（p-q）=p2-q2，故选C.