关于分段函数相关问题的教学探讨

马艳丽，潘娟娟，褚正清，李海霞

（安徽新华学院 公共课教学部，安徽 合肥 230088）

关于分段函数相关问题的教学探讨

马艳丽，潘娟娟，褚正清，李海霞

（安徽新华学院 公共课教学部，安徽 合肥 230088）

函数是高等数学的主要研究对象，其中分段函数是一类非常特殊且具有代表性的函数，它是数学教学中的重点，同时也是学生不易掌握的难点。通过具体实例分析了分段函数的极限、连续性、导数、积分和极值的求法以及容易出现的问题，指出理解分段函数有关内容的关键是掌握其在分界点处的特殊变化。

分段函数；连续性；导数；积分；极值

函数是高等数学的主要研究对象，它从始至终都占据着非常重要的地位，其中分段函数［1］是一类非常特殊且具有代表性的函数，它是高等数学教学中的重点，同时也是学生不易理解和掌握的难点。在高等数学中，有许多内容都要涉及到分段函数，它的明显特征就是“分段”，在讨论分段函数的性质，如连续性、可导性、积分和极值时学生往往容易出错，尤其是对于分段函数在分界点处的性质，学生更容易忽略，往往会感到无从下手。本文主要对分段函数的极限、连续性、导数、积分和极值等问题的求解思路和方法进行归纳总结并结合实例进行分析，旨在对学生的学习能够起到一定的指导作用，使学生们对于分段函数性质的分析有更深的理解和掌握。

1 分段函数的概念

分段函数是指对自变量的不同取值范围，对应法则用不同式子来表示的函数。它明确指出了分段函数是在自变量的不同取值范围内对应着不同解析式的一个函数，并不是几个函数［1］。因此，不要以为对于自变量的全部值由一个公式定义的函数与利用几个公式定义的函数是相同的，这两者之间有着原则上的区别。当然，通常情况下，由几个公式给定的分段函数有时也可以用一个公式表示出来，例如：分段函数

初等函数在其定义区间内都是连续的［2］。因为分段函数的分界点往往是间断点，所以分段函数一般不是初等函数。由于分段函数的表达形式比较特殊，学生不容易理解和掌握，教师在讲授分段函数的概念和性质时，应注意以下3个方面：1）分段函数只有一个对应法则，是一个函数，切不可把它看成是几个函数。2）分段函数的定义域是自变量取值集合的并集，因为一个函数只有一个定义域，所以定义域只能写成一个集合的形式，而不能分开写成几个集合。3）分段函数的值域是各个表达式函数值集合的并集，求分段函数的值域，要先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值集合，再求出它们的并集。

解由绝对值的意义可知

函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），值域为（-∞，4）∪（-∞，4］=（-∞，4］。

2 分段函数的极限与连续性

如何解决分段函数在分界点处的极限和连续性情况，通常要讨论分段函数在分界点处单侧极限（左右极限）和单侧连续（左右连续）的情况［3-4］。

定理1设分段函数

则

下面通过具体的例题来说明如何讨论分段函数的极限与连续性。

例2讨论函数

的连续性。

解函数f（x）的定义域被分界点0和2分成了3个区间段：（-∞，0），［0，2）和［2，+∞），由于函数f（x）在各个区间段的表达式都是初等函数，根据初等函数的连续性知：函数f（x）在区间（-∞，0），（0，2）和（2，+∞）内都是连续的。

下面根据定理1来讨论函数f（x）在分界点x=0，2处的连续情况。

由

得函数f（x）在分界点x=0处是连续的。

所以，函数f（x）在区间（-∞，2）和（2，+∞）内连续，在点x=2处不连续。

例3设函数

讨论当a，b取何值时函数f（x）在x=0处极限存在，并补充定义使得函数f（x）在x=0处连续。

所以

3 分段函数的导数

例4求函数

的导数。

解因为，当x＞0时，有

当x≤0时，有

所以

此解题过程是学生的常见解法，也是错误的解法。因为学生忽略了分界点左右邻域内表达式不统一的情况，直接利用初等函数的求导公式和求导法则对某一个解析式求导是不对的，必须对分界点进行单独讨论。

一般来说，求分段函数的导数分以下2个步骤：1）先求出函数在去掉分界点以后的各个区间上的导数，此导数可以根据导数的定义、公式和求导法则等多种方法进行求解；2）再讨论函数在分界点处的导数情况。而在分界点处的导数，可以通过以下方法进行分析：

（1）判断函数在分界点处是否连续，如果不连续，则必不可导。但若函数f（x）在分界点处连续时，必须另寻其他方法进行判断。

（2）求出函数在该点的单侧导数（左导数和右导数），根据单侧导数的情况来判断函数在分界点处可导的情况，具体来说，如果函数在该点的左导数和右导数都存在且相等，则函数在该点可导，否则都不可导。

（3）求出函数在分界点左、右邻域内的导函数，讨论导函数在分界点处的左极限和右极限，若不相等，则函数在该点处不可导；若相等，则函数在该点处可导，且导数值即为导函数在该点处的极限。

例4的正确求解方法如下所示：

解当x＞0时，有

当x＜0时，有

当x=0时，可以通过以下方法进行求解：

解法1因为

解法2由

4 分段函数的不定积分

求分段函数的不定积分，关键在于解决不定积分（原函数）的连续性，也就是对各个子区间段上不定积分的积分常数取适当的值，使得原函数在分界点处是连续的。若被积函数在所有的分界点处都是连续的，则根据原函数的连续性，就可以求出这些积分常数之间的关系式，最后得到只含有一个积分常数的不定积分；若被积函数在某些分界点是不连续的，则最后的不定积分结果可能有多个相互独立的积分常数。

例5若函数

求∫f（x）d x。

因为被积函数f（x）在区间（-∞，+∞）上连续，所以函数f（x）的原函数在区间（-∞，+∞）上也连续。由f（x）的原函数在x=0处连续可得

即C2=C1+2，令C1=C，于是

例6若函数

求∫f（x）d x。

解当x＜0时，有

当0≤x＜2时，有

当x≥2时，有

因为被积函数f（x）在区间（-∞，+∞）上连续，所以f（x）的原函数在区间（-∞，+∞）上也连续。由例2知f（x）的原函数在x=0处连续，可得

再由例2知f（x）的原函数在x=2处不连续，所以，函数的不定积分为

由该例题可知，求分段函数的不定积分时，若分界点是间断点，则可能有多个积分常数。

5 分段函数的定积分

与分段函数的不定积分相比，分段函数的定积分相对来说比较简单。由定积分的定义可知，只有有限个不连续点不影响定积分的结果。所以，由定积分的性质可知，只要分段函数的定积分存在，就可以分界点为界点，利用积分区间可加性来进行求解，也就是：分段积分，然后相加。

解被积函数可写成分段函数的形式，即

由定积分的积分区域可加性得

虽然学生根据积分区域可加性容易求出分段函数的定积分，但很多学生在求解分段函数的定积分时思路并不是很清晰，往往会忽略一些问题。

例8若函数

解由定积分的积分区域可加性得

几乎所有的学生都是按照上述做法进行求解的，此解法是正确的。题目虽然解答完，但学生往往没有弄清楚整个问题。首先，f（x）在区间［0，2］上是可积的，这点根据f（x）在［0，2］上有界，且只有有限个间断点可以判定。其次，根据定积分的积分区域可加性得

定理2［4］设f（x）在区间［a，b］上有界，且仅在有限个点处f（x）≠g（x），则若f（x）在区间［a，b］上可积，有g（x）在区间［a，b］上也可积，且

教师在讲授分段函数的定积分时有必要补充并证明这样的一个结论，有了这个定理2，上面的矛盾就可以解释了。

6 分段函数的二重积分

分段函数二重积分的计算问题［5］是学生学习的一个难点，一直为广大师生所关注，但在大部分教材中，并没有明确指出分段函数二重积分的计算方法。此类问题的一般计算步骤是：1）画出积分区域的草图；2）由被积函数的分段点把积分区域分成如干部分区域，使得在每个部分区域中的被积函数表达式明确；3）利用二重积分的区域可加性，进行计算。

解画出积分区域D草图，以直线y=x为界将积分区域D分为D1和D2，如图1所示。

图1 积分区域D

7 分段函数的极值

通过上述关于分段函数几个问题的分析，我们知道分段函数在分界点处的情况非常复杂，例如分界点是间断点，在分界点处连续但不可导，或分界点是驻点等等。要判断分段函数在分界点处是否取得极值时，若采用常规的方法去求解的话，计算量很大且繁琐，本文在文献［6-7］的基础上给出了判断分段函数在分界点处是否取得极值的方法。

例10判断分段函数

在分界点x=0处是否取得极值？是极大值还是极小值？

解因为

由文献［6］定理1知，函数f（x）在x=0处取得极小值，且极小值为f（0）=0。

例11讨论分段函数

在分界点处的极值情况。

解在分界点x=1处，因为

所以f（1-）＞f（0）＞f（1+），由文献［6］定理2知，函数f（x）在x=1处无极值。

在分界点x=-1处，因为

所以f（-1-）＜f（0），f（-1+）＜f（0），由文献［6］定理1知函数f（x）在x=1处取得极大值。

8 结语

通过上述对分段函数相关问题的归纳分析，相信学生们在讨论分段函数极限、连续性、导数、积分和极值时会有更加清晰的思路和方法，会对分段函数的分界点特别留意和关注，这个过程也是对单侧极限、单侧导数、导数极限定理等性质有更加深入地认识和掌握的过程。

［1］华东师范大学数学系.数学分析:上册［M］.3版.北京:高等教育出版社,2003．

［2］同济大学数学系.高等数学:上册［M］.6版.北京:高等教育出版社,2013.

［3］任树联.讨论分段函数在分界点处极限、连续性及导数的定理［J］.宜宾学院学报:自然科学版,2006,28（4）:15-17.

［4］李嘉.关于《高等数学》中分段函数性质的教学探讨［J］.西南师范大学学报:自然科学版,2014,39（10）:162-165.

［5］张鸿鹰.分段函数的二重积分［J］.高等数学研究,2006,24（2）:8-9.

［6］王利珍.分段函数的极值［J］.大学数学,2007,23（6）:86-188.

［7］蔡瑾.浅谈高等数学一元微积分中的分段函数［J］.长春理工大学学报:自然科学版,2013,30（2）:121-122.

【责任编辑：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Induction in teaching about related problems of segmented function

MA Yan-li,PAN Juan-juan,CHU Zheng-qing,LI Hai-xia
（Department of Public Curriculum,Anhui Xinhua University,Hefei 230088,China）

Function is the main research object in higher mathematics.Segmented function is a kind of very special and representative function.It is the key point in mathematics teaching,and also the difficulty point which is not easy for students to learn.The limit,the derivative,the integral and the extreme value of the segmented function at the boundary point are the more difficult contents for the students.This paper analyzed the method and problems of the limit,the continuity,the derivative,the integral and the extreme value of the segmented function by giving some examples,and pointed out that the key to understanding the segmentation function is to master the special changes in the boundary points,which helps the deep understanding and comprehension.

segmented function;continuity;derivative;integration;extreme value

O174

A

1008-0171（2016）06-0037-07

2016-05-13

马艳丽（1983-），女，安徽合肥人，安徽新华学院讲师。