多法归宗：一题多解教学的价值所在

☉江苏省如皋市高新区实验初中 陈小红

多法归宗：一题多解教学的价值所在

☉江苏省如皋市高新区实验初中 陈小红

一、引言

一题多解教学是数学例题教学的重要内容.在初中阶段，对同一道例题解法的探究是数学教师的教学关注点之一.很多教师在呈现出一种解法后，都会追问一句：还有其他解法吗？学生由此展开不同方法的探究与交流.教师的这种基于解法多样性需求的追问，能在短暂的时间内激活学生的求异思维，生成与已有解法异样的思路或方法，对学生的思维训练和能力提升是有利的.然而，在核心素养培养成为热门话题的今天，我们如何让一题多解发挥出更大的教学效应呢？下面，就结合一道例题的教学，来谈谈笔者的做法和感悟，希望能给您带来启示.

二、一道例题的教学分析

1.例题及分析

例题在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上一点，且DA=DE.

（1）当点D在线段BC上时，如图1，求证：BD+AB=AE；

（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，猜想：线段BD、AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.

图1

图2

简析：本题由2016年黑龙江省某地区的中考模拟卷第26题（全卷共28题）改编而来，被编排在人教版第十三章“轴对称”的单元复习课上.题目主要涉及全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及平行线的性质等核心知识和化归、类比等数学核心思想.从这道题在原卷上所处的位置和涉及的知识来看，其难度不低.知识的提取与应用较为困难是一方面，最让学生为难的还是如何添加辅助线构造等边三角形和全等三角形的问题.本节课前，解题所需要的基础知识和基本技能学生都已经具备，缺失的是作平行线构造全等三角形的经验.所以，本题的教学定位应确定为“培养学生的图形重构意识”，在这种重构中提升学生分析问题和解决问题的能力.

2.教学过程及简析

活动1：自主探究，获取解法.

学生活动：认真阅读例题，找寻解题思路，并给出详细的推理过程.

学生自主解答8分钟，教师巡视，观察学生给出的推理过程，并进行简单的点拨.

活动2：小组交流，分享解法.

在学生完成解法探究后，教师立即安排学生进行小组交流.具体交流内容包括三个方面：（1）推理过程；（2）获得解题思路的过程；（3）是否还有其他解法.

在接下来的10分钟时间内，学生在各自小组中分享自己的思路与解法，而教师则在小组间不停“穿梭”，引导学生发现异样的思路和解法，激发他们对例题解法的进一步思考.同组内学生间产生激烈的思维碰撞，小组交流的气氛十分热烈，对不同解法的矫正与完善反复进行着.

活动3：全班交流，展示解法.

全班交流环节，教师引导学生将他们在解答中出现的多种解法进行集中展示，要求学生说清解题的思路及解题中用到的知识.具体解法如下：

解法1：（1）如图3，作DM∥AC交AB于M，易得△ABC和△BDM都是等边三角形.据此，我们可以证得∠AMD=∠DCE=120°，∠ADM=∠CAD=∠E，加之AD=DE，所以△AMD≌△DCE.所以，DM=CE=BD.所以，BD+AB=CE+ AC=AE.

图3

图4

（2）BD=AB+AE.如图4，作DM∥AC交AB的延长线于M，同样的，△ABC和△BMD都是等边三角形.所以∠AMD=∠DCE=60°，∠ADM=∠EAD=∠E，加之AD= DE，所以△AMD≌△DCE.所以，DM=CE=BD.所以，BD= AC+AE=AB+AE.

解法2：（1）如图5，作DM∥AB交AC于M，易得△ABC和△MDC都是等边三角形.易证∠AMD=∠DCE=120°，∠DAM=∠E，加之AD=DE，所以△DAM≌△DEC.所以，AM=CE=BD.所以，BD+AB=CE+AC=AE.

图5

图6

（2）BD=AB+AE.如图6，作DM∥AB交CA的延长线于M，同样的，△ABC和△CMD都是等边三角形.所以∠M=∠C=60°，加之AD=DE及由这一条件推出的∠DEA=∠EAD，所以△AMD≌△ECD.所以，AM=CE=BD.所以，BD=AC+AE=AB+AE.

（在学生给出上述方法后，教师提出：能否过点E分别作出AB、AC的平行线构造全等三角形和等边三角形来解决这个问题？学生据此进行了更进一步的探究，形成了新的解法，因成文需求，这里不再赘述）

活动4：小结归纳，多法归宗.

历经20分钟的全班交流，学生给出了四种解法.接下来，教师结合学生在黑板上展示的解法进行了追问：这些方法有什么共性之处？（都是截长或补短）通过什么途径实现的？（作平行线构造等边三角形和全等三角形）例题原型在何处？（教材第80页例4）这给你什么启示？（重视教材例题学习，关注数学核心知识）今后遇到类似问题我们该如何思考？（关注问题之间的内在联系，注重数学思想的解题应用）

在此过程中，形成板书，如图7.

三、三点感悟

1.立足自主探究，夯实“多法归宗”之基

在上面的案例中，教师首先让学生“认真阅读例题，找寻解题思路，并给出详细的推理过程”，就是让学生在自主解答中经历思维的“阵痛”，积累问题解决的经验和摸索过程中丰富的情感体验，这些经验和体验对学生本节课的交流和后续的学习是非常宝贵的.一方面，它们是学生得以与学生对话的根本保证，是学生之间对话最主要的资源；此外，更多的经验和体验已经融入学生的知识网络中去，实现了同化、顺应，在今后遇到相同的问题时，这些经验与体验便会不自觉地涌现出来，成为进一步探索的基础.显然，自主探究过程的经历是一举多得的好事，我们应该借助一题多解教学加以落实，使之发挥应有的价值.

2.关注核心“四基”，指向“多法归宗”之本

以上面的这道例题为例，其所涉及的“全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及平行线的性质”等都是第三学段的核心知识，在这道例题教学过程中，教师对它们进行重点梳理和强化巩固是理所当然的事.学生的自主解答与小组交流，重在核心“四基”的应用，全班交流则将这些核心“四基”继续推向前台，使之进一步明晰，让学生真真切切地感受这些核心“四基”的应用价值.

3.注重经验再用，凸显“多法归宗”之神

在教学中，我们应多多关注有内在联系的解法的集中呈现，对于那些与常用解法关联不大的方法，我们应有选择性地加以呈现，绝不能为追求多样性而冲淡“归宗”这一主题.关联解法之间在解题经验上都有着某种内在的延续性，我们在教学中应让学生学会“从有到有”，用一种解法的经验引发新的解法，使得既得经验自然延续到新解法中，实现经验的巩固应用与强化提升.在上面的例题教学中，给出两种的只有少数学生.教师在引导学生给出两种解法后，提出“过点E分别作出AB、BC的平行线构造全等三角形和等边三角形来解决问题”的思路就是让学生将解法1、2中所积累的分析问题和解决问题的经验进一步沿用，使得刚刚“归宗”的核心四基得以再展身手，发挥其在问题解决中的价值.Z