变速铣削稳定性预测的整体离散算法

宋春雷，彭志科

（上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240）

变速铣削稳定性预测的整体离散算法

宋春雷，彭志科

（上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240）

在铣削过程中，颤振的发生通常会导致被加工工件表面粗糙、刀具快速磨损，甚至会损坏主轴系统，严重影响机床生产效率和产品精度。其中，再生颤振在实际铣削过程中最为普遍。基于再生颤振原理和离散算法进行颤振预测，针对变速铣削中的周期较长、系数变化明显等问题，提出一种应用于变速铣削过程的整体逼近的离散化算法，并分析算法收敛性。结果证明，此方法可提高计算效率和精度。

振动与波；再生颤振；Floquet原理；变速铣削；稳定性预测

铣削加工具有生产效率高、机械结构简单、适用性广等优点，是应用最为广泛的机械加工方法。在实际加工过程中，操作人员为防止发生颤振，通常会保守选择切削参数，从而降低机床的真实加工性能。颤振是指机床加工过程中，机床的刀具主轴系统与工件相互作用而产生的自激振动[1]，会导致工件表面粗糙、刀具磨损，严重的情况下甚至能损坏主轴系统[2]。

再生型颤振的发生最为普遍，机床刀具系统与工件系统的运动方程通常被表示为周期时滞微分方程[3]。稳定性预测的离散方法是一种有效解析方法。Insperger首先提出了稳定性预测的半离散算法，有效地解决了径向切深较低的铣削过程的稳定性预测的问题[4-5]。Ding提出了全离散算法，并大幅度提高了算法的计算效率，使算法拥有更强的实用性[6-9]。

基于再生原理[10]，学者们从主轴参数、刀具结构和变速铣削三个角度来探究避免颤振的方法。Segalman和Butcher通过使主轴-刀具系统刚度周期性变化来抑制车削颤振[11]。Duncan等在主轴上加上一些阻尼器来提高主轴-刀具系统在颤振频率附近的阻尼[12]。第二类方法主要通过改变刀具结构来避免颤振的发生[13-14]。变螺旋角的铣刀和变螺距的铣刀分别被用于避免颤振的发生，其目的是造成相邻刀齿间不同的延迟间隔。实验结果显示，两类方法在一定程度上改善了实际的切削性能。第三类方法主要通过周期变化的主轴-刀具系统转速来避免颤振，使得刀齿与工件的再生效应被扰乱[15-16]。由于转速的变化不需要对主轴和刀具进行加工，并且适用各种机床，因而具有更高的实用价值。

Takemura等建立了第一个变速铣削的模型[17]。Sexton等通过谐波平衡法预测变速铣削的精度，该方法适用于径向切深较大的情况[18]。Insperger等将半离散算法应用于变速铣削[19]，对于铣削力系数的快速变化和被积分项的逼近方法限制了该算法精度和效率。文中提出一种基于矩阵重构的离散化算法来预测变速铣削的稳定性。在该算法中，被积分项被作为一个整体来进行逼近，主轴转速和振动速度等因素被加入模型。通过和1阶半离散算法的比较表明，本算法具有更高的精度和效率。

1 变速铣削算法

1.1 变速策略

刀具的转速由机床主轴控制。变速形式主要采取三角波形、正弦波形和方波形。考虑到机床主轴-刀具系统的动力学特性，文中采取正弦波形。正弦波形的周期为T0，截距为ΩM，振幅为ΩA。该变速策略为

其中，形函数S(t)可表示为

将幅值和频率归一化得到

RVA表示转速变化的幅值和平均转速度的比率，RVF表示平均周期和变速周期的比率。变速策略如图1所示。

图1 主轴变速策略

对于匀速铣削，延迟时间可表示为

其中z是铣刀的齿数。图2为四刃铣刀的截面图。相邻两个刀齿以此进入铣削过程，两个齿切入时间差即为齿通周期。

图2 四刃铣刀截面图

对于变速铣削，延迟时间τ(t)和变速策略有如

下关系

由于采取正/余弦函数作为变速策略，其积分也为余/正弦函数。将式（1）代入式（6），延迟时间可近似表示为如下周期变化的波形

将时间离散化，在第i个间隔中，延迟时间可表示为

1.2 预测算法

铣削运动方程可表示为时滞周期方程

其中ξ为阻尼比，ωn为固有角频率，w为轴向切深，mt是主轴系统的模态质量。延迟时间τi等于刀具的齿通周期，变速策略周期为T，主轴平均转速为τ0，离散时间间隔为Δt。提取齿通周期τi和变速周期T做公约数，计算得系统的周期TF为

其中q和p是最小公因子。K是人为选择的离散间隔数，当间隔数较多时，可计算出更为精确的解。

铣削运动方程（9）的状态空间方程为

其中

依次计算出在各个间隔中刀齿的位置。在第n个间隔中，铣刀第j个齿的角位置为

铣刀的切入切出系数由式（13）给出。其中，φst和φex分别为第j个齿的切入和切出角。对于逆铣过程φst=0，φex=arccos(1-2RA)；对于顺铣过程φst=arccos(2RA-1)，φex=π。其中，RA径向切削深度和刀具直径的比率。

将离散切削系数及其微分离散化，结果由式（14）和式（15）计算得出。

在离散算法中，方程的解是在一段时间间隔内逼近方程的精确解。式（16）为铣削振动方程式（11）在时间点t0附近的解。

在任一时间间隔[iΔt，iΔt+Δt]中，方程的解可等价表示为式（17）。

计算时滞项所对应的延迟间隔，时滞项的延迟时间由下式给出

在变速时，速度项和铣削系数项变换较为明显，在本算法中，Hermite多项式被用来近似表示方程解的被积分项

系数矩阵B(t)中第一行均为0。因此，对于精确解的逼近精度决定于下式

由于延迟时间为时变值。通过Hermite多项式，对精确解的时滞部分和当前部分进行分开逼近。式（24）中当前部分积分区域为[iΔt，iΔt+Δt]，由下式计算得出

时滞部分的积分区域为[riΔt-τi，riΔt+Δt-τi]，可用相同计算方法得出。

将式（18）-式（27）代入式（17）得FTi的维数为

其中

Floquet矩阵可表示为

根据Floquet原理，如果矩阵F的所有特征值均位于复平面的单位圆之内，则系统稳定。如果存在任一特征值位于单位圆之外，则系统不稳定。稳定性图的边界可根据特征值的分布来判定。

2 收敛性分析及比较

1阶半离散算法的局部离散误差被证明为o(Δt3)[5,20]。本算法用相似的方法来证明局部离散误差。精确解和近似解的局部离散误差为

其中K0是常数，可由积分计算得到。

本方法利用两个离散点，局部离散误差为ο((Δt)5)。零阶半离散算法和1阶半离散算法的局部离散误差分别为为简化分析，图3-图4给出了当铣削参数Ω=5 000 r/min、RAV=0.001、RAV=1时，1阶半离散算法和本算法矩阵F特征值的绝对值的收敛率。

图3 轴向切削深度为0.5 mm时稳定性界限的收敛性结果（参考值由零阶半离算法得出，其中离散间隔K取400）

图4 轴向切削深度为0.1 mm时稳定性界限的收敛性结果（参考值由零阶半离算法得出，其中离散间隔K取400）

通过0阶半离散算法计算得出参考特征值的绝对值ur，为保证精确度，离散间隔K取400。w为轴向切削深度，n表示离散间隔数。

由图中显示，文中提出方法收敛速度比1阶半离散算法快，主要有两方面原因：对于被积分函数的整体逼近可以减小由两个逼近相乘从而导致的误差。相较于匀速铣削加工过程，变速铣削所引起的状态向量的系数变化更为剧烈，1阶半离散算法对于逼近项的处理方式使得系数的变化被削弱。通过矩阵重构使得方程的解可导入微分项，并且对被积分项做整体逼近，大幅提高了算法精度。如果切削过程中所采用的变速策略为三角波形或矩形波形，在算系数微分时，导数均采用不可导点的左导数。

3 稳定性分析

将提出的算法应用于单自由度铣削模型，并将结果和1阶半离散算法作比较。模态参数取为Kt=6×108N/m2，Kn=2×108N/m2，ωn=922Hz，ξ=0.011，mt=0.039 93 kg，离散间隔数n=40，轴向切削深度变化步长和速度变化步长分别被离散为100和200个间隔。为了使变速策略更符合真实切削过程，RVA取为0.01，RVF取为1。图5-图7为顺铣过程中所提算法稳定性预测结果。

对算法时间进行比较，本算法计算时间为120 s～160 s，1阶半离散算法为460 s～480 s，本算法可减少65%～70%的计算时间。综合以上两种因素可知，本算法具有更高的效率和精度。

图5 RA=1时系统铣削稳定性预测结果

图6 RA=0.5时系统铣削稳定性预测结果

图7 RA=0.1时系统铣削稳定性预测结果

4 结语

针对变速铣削中速度项和铣削力系数项变化较快等特点，提出一种变速铣削稳定性的预测算法。通过被积分项的矩阵重构，将微分项引入方程，并且将被积函数进行整体逼近，减少了半离散和全离散算法中对于状态向量及系数矩阵分开逼近所造成的误差和削弱效应。基于单自由度铣削模型，比较了本算法和半离散算法局部离散误差和收敛性。结果显示，本算法和一阶半离散算法的局部收敛误差分别为并且能够减少约65%的计算时间，拥有更大的实用价值。

[1]TOBIAS S A,FISHWICH W.Theory of regenerative machine tool chatter[J].The Engineer,1958,205(7):199-203.

[2]吴雅，师汉民.金属切削机床颤振理论与控制的新进展[J].中国科学基金，1993，7(2)：99-105.

[3]TOBIAS S A.Machine-tool vibration[M].Wiley,1965.

[4]INSPERGER T,STEPAN G.Semi-discretization method for delayed systems[J].InternationalJournalfor Numerical Methods in Engineering,2002,55(5):503-518.

[5]INSPERGER T,STEˊPAˊN G.Updated semi-discretization method for periodic delay-differential equations with discrete delay[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2004,61(1):117-141.

[6]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al.A fulldiscretization method for prediction of milling stability[J].InternationalJournalofMachineToolsand Manufacture,2010,50(5):502-509.

[7]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al.Second-order fulldiscretization method for milling stability prediction[J].InternationalJournalofMachineToolsand Manufacture,2010,50(10):926-932.

[8]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al,On a numerical method forsimultaneousprediction ofstability and surface location error in low radial immersion milling[J].Trans.of the ASME,Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control,2011,133(2).

[9]DING Y,ZHU L M,ZHANG X J,et al,Numerical integration method for prediction of milling stability[J].Trans.of the ASME,Journal of Manufacturing Science and Engineering,2011,133(3):391-407.

[10]KUDINOV V A,Dynamics of tool-lathe[J].Mashinostroenie,Moscow,1967.

[11]SEGALMAN D J,BUTCHER E A.Suppression of regenerative chatter via impedance modulation[J].Journal of Vibration and Control,2000,6(2):243-256.

[12]DUNCAN G S,TUMMOND M F,SCHMITZ T L.An investigation of the dynamic absorber effect in highspeed machining[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,2005,45(4):497-507.

[13]ALTINTAS Y,ENGIN S,BUDAK E.Analytical stability prediction and design of variable pitch cutters[J].Journal of Manufacturing Science and Engineering,1999,121, 2:173-178.

[14]BUDAK E.Analytical design method for milling cutters with nonconstant pitch to increase stability,PartⅠ:theory [J].JournalofManufacturingScienceand Engineering,2003:29-34.

[15]INAMURA T,SATA T.Stability analysis of cutting under varying spindle speed[J].Annals of the CIRP,1975,23 (1):119-120.

[16]HOSHI T,SAKISAKA N,MORIYAMA I,et al.Study for practical application of fluctuating speed cutting for regenerative chatter control[J].Annals of the CIRP, 1977,25(1):175-179.

[17]TAKEMURA T,KITAMURA T,HOSHI T,et al.Active suppression of chatter by programmed variation of spindle speed[J].Annals of the CIRP,1974,23(1):121-122.

[18]SEXTON J S,MILNE R D,STONE B J.A stability analysis of single-point machining with varying spindle speed[J].Applied Mathematical Modelling,1977,1(6): 310-318.

[19]SEGUY S,INSPERGER T,ARNAUD L,et al.On the stability of high-speed milling with spindle speed variation[J],The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2010,48(9-12):883-895.

[20]INSPERGER T. Full-discretization and semidiscretization formilling stability prediction:some comments[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,2010,50(7):658-662.

Stability Prediction of Milling with Periodic Spindle Speed Modulation based on Global DiscreteAlgorithm

SONG Chun-lei,PENG Zhi-ke
(State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China)

In the milling process,chatter always results in poor workpiece surface smoothness,tool wear,and other potential damage which reduce the productive efficiency and the accuracy of the workpiece processing.The regenerative chatter is the most common chatter in the actual milling process.An effective method to avoid the chatter is to change the spindle speed periodically.In this paper,a novel discretization method based on the regenerative principle is proposed to predict the stability of the variable speed milling.The differential terms of the solution is used through the matrix reconstruction.The results show that the proposed method can reduce the computation time and improve the accuracy of the solution.

vibration and wave;regenerative chatter;Floquet theory;variable speed milling;stability prediction

TH113

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.002

1006-1355(2016)06-0007-05+31

2016-08-11

国家杰出青年科学基金资助项目（11125209）；上海市科委基金资助项目（14140711100）

宋春雷（1990-），男，郑州市人，硕士生，主要研究方向为机床动力学分析。E-mail:mit1191@sjtu.edu.cn

彭志科（1974-），男，博士生导师。E-mail:z.peng@sjtu.edu.cn