基本不等式求最的值错因剖析

岳峻

一、忽视基本不等式求最值成立条件“正”而致错

例1 已知y=a（a>0，a≠1）是增函数，且a+a≤6（a∈Z），求函数f（x）=x+的值域。

错解 易得a=2，f（x）=x+，

f（x）=x+≥2，当且仅当x=，即x=时等号成立。

所以函数f（x）=x+的值域是[2，+∞）。

剖析 上述解法忽视了自变量x的范围，想当然地认为x∈（0，+∞），也忽视了应用基本不等式求最值的前提条件。

实际上，当x<0时，-x>0，此时（-x）+≥2，

所以f（x）=x+=-（-x）+≤-2，当且仅当-x=，即x=-时等号成立。

故正确答案为（-∞，-2]∪[2，+∞）。

变式1 实数a、b满足ab=1，则a+b的取值范围是 。

答案 （-∞，-2]∪[2，+∞）

二、忽视基本不等式求最值成立条件“定”而致错

例2 已知f（x）=x+（x>2），求f（x）的最小值。

错解 当x>2时，>0，

则f（x）=x+≥2，当且仅当x=，即x=3时等号成立，此时f（x）≥6。

所以f（x）的最小值是6。

剖析 应用基本不等式求最值时必须满足“和为定值”或“积为定值”，上述解法中，f（x）=x+≥2的右边不是定值，这样由x=得到的x对应的值一般不是最小值。

实际上，f（x）=x+=（x-2）++2≥2+2，

当且仅当x-2=，即x=2+时等号成立。

所以f（x）的最小值是2+2。

变式2 实数a<3，则代数式+a的最大值是 。

答案 -1

三、忽视基本不等式求最值成立条件“等”而致错

例3 求函数f（x）=（x≥0）的最小值。

错解 f（x）==+≥2，

当且仅当x=1-a时，等号成立。

所以f（x）的最小值是2。

剖析 应用基本不等式求最值时，f（x）≥2的内涵是f（x）>2或者f（x）=2，f（x）≥2是正确的，但是，2是不是最小值取决于f（x）=2是否成立，如果只有f（x）>2，那么2就不是最小值。

实际上，（1）当a≤1时，当且仅当x=时，等号成立，所以f（x）=2。

（2）当a>1时，令t=≥>1，则：

f（x）==+=t+在t∈[，+∞）单调递增。

所以当t=，即x=0时，f（x）取得最小值，f（x）=+=。

故函数f（x）=（x≥0）的最小值为f（x）=2？摇（a≤1），？摇（a>1）。

变式3 函数f（x）=（x≤0）的最小值是 。

答案

四、忽视基本不等式求最值成立条件“正”、“定”、“等”的顺序而致错

例4 当x>0时，求函数f（x）=x+的最小值。

错解 因为x>0，x>0，>0，则

f（x）=x+≥2=4，

当且仅当x=，即x=2时，等号成立，此时f（x）≥8，

故函数f（x）=x+（x>0）的最小值为8。

剖析 应用基本不等式求最值时，必须遵循“一正二定三相等”的顺序解决问题。此类问题首先将“平均拆分”为+，“凑”出和或积的定值，然后再考查等号，而不是“正”、“等”、“定”。

实际上，当x>0时，f（x）=x+=x++≥3=6，

当且仅当x==，即x=时，等号成立，

故函数f（x）=x+（x>0）的最小值为6。

变式4 函数f（x）=4x+（x>0）的最小值为 。

答案 3

五、忽视基本不等式求最值成立条件“一致”而致错

例5 （2014年重庆卷）若log（3a+4b）=log，则a+b的最小值是（ ）。

A.6+2？摇 B.7+2 C.6+4？摇 D.7+4

错解 因为log（3a+4b）=log，则a>0，b>0，3a+4b=ab，

所以ab=3a+4b≥2，即≥4，

又a+b≥2，所以a+b≥2≥8，

因此a+b的最小值为8。

剖析 多次应用基本不等式求最值时，要注意等号是否同时成立，即等号成立的条件是否一致。本题中=4时3a=4b，而a+b=2须满足a=b，显然a=b=0与已知信息矛盾。

实际上，3a+4b=ab，即+=1，

所以a+b=（a+b）+=7++≥7+2=7+4，当且仅当=，即a=4+2，b=3+2时等号成立。

或a+b=（a+b）+=[（）+（）]+≥+=（+2）=7+4，

当且仅当=，即=，亦即a=4+2，b=3+2时等号成立。

故a+b的最小值为7+4。正确答案为D。

变式5 （2015年福建卷）若直线+=1（a>0，b>0）过点（1，2），则a+b的最小值等于 。

答案 3+2

六、忽视基本不等式求最值“放缩”而致错

例6 已知正数a、b满足+=2，则+的最小值是 。

错解 因为a、b是正数，所以2=+≥2=，

即≥，亦即ab≥2，所以≤

又+≥2=，所以+≥≥2，

当且仅当=，即a=1，b=2时等号成立。

故+的最小值为2。

剖析 本题中两次应用基本不等式，但+≥4×与≤不是同向不等式，不能传 递放缩，这是策略性错误。

实际上，2=+≥，可得≤，所以-≥-2，当且仅当=，即a=1，b=2时等号成立。

因此+=+-=4-≥4-2=2，当且仅当a=1，b=2时等号成立。

故+的最小值为2。

变式6 已知正数a、b满足a+9b=4，则a+3b的最大值是 。

答案 2

七、忽视基本不等式引申式的活用而致错

例7 已知正数a、b满足a+b=1，则T=a++b+的最小值是 。

错解 因为a+≥2，可得a+≥，同理b+≥，

所以T=a++b+≥+≥2=8。

故T的最小值是8。

剖析 基本不等式加以引申，可得到如下结论：

当a≥b>0时，a≥≥≥≥≥b，当且仅当a=b时等号成立。

该结论中从左至右依次称为平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和平均数，分别包含了两个正数的平方之和a+b、两者之和a+b，两者之积ab、两者的倒数之和+，只要已知这四个代数式之一为定值，总可以求解另外三式的最值。这一不等式的应用十分广泛，应加以重视。

实际上，T=a++b+=（a+b）+++2+，

因为a+b=1，所以≥=，即a+b≥，当且仅当a=b时等号成立。

又因为=≥，可得+≥4，当且仅当a=b时等号成立。

且≥，当且仅当a=b时等号成立。

所以≥≥2，即+≥8，当且仅当a=b时等号成立。

故T的最小值是。

变式7 （1）设a、b>0，a+b=5，则+的最大值为 。

（2）函数f（x）=+的最大值是 。

答案 （1）3 （2）2？荨