全面认识反函数

2016-12-23 09:26王洪洲
青苹果·高一版 2016年10期
关键词:值域定义域交点

王洪洲

反函数是一个较抽象的概念,而教材只给出一种描述性的定义,增加了我们理解反函数的难度。本文从反函数的有关性质、求法和巧妙应用等几个环节入手,对反函数进行全面认识。

性质1 函数y=f(x)在某一区间上存在反函数?圳该函数在该区间上是一一映射。

性质2 原函数的图像与其反函数的图像关于直线y=x对称。

性质3 原函数的定义域是其反函数的值域,原函数的值域是其反函数的定义域。

性质4 f [f(x)]=x,x属于y=f(x)的定义域;f[f (x)]=x,x属于y=f(x)的值域。

性质5 原函数与其反函数的单调性相同,原函数与其反函数的奇偶性相同。

性质6 函数f(x)为增函数,若y=f(x)的图像与y=f (x)有交点,则交点必在直线y=x上。

性质7 函数f(x)为减函数,若y=f(x)的图像与y=f (x)有交点,则交点至多有一个在直线y=x上。

性质8 函数f(x)是单调函数,若y=f(x)与y=f (x)有不在直线y=x上的交点,则函数f(x)是单调减函数。

一、反函数的存在问题

例1 函数f(x)=x-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数,则a∈( )。

A.(-∞,1] ?摇?摇?摇?摇?摇?摇 B.[2,+∞)

C.(-∞,1]∪[2,+∞)?摇?摇 D.[1,2]

解析 由性质1可知,函数f(x)=x-2ax-3在区间[1,2]为单调函数,所以a?埸(1,2),

故选C。

评注 函数y=f(x)在这一区间上单调与其在该区间上存在反函数不等价。

二、求反函数的问题

例2 函数f(x)=log1+(x>0)的反函数f (x)=( )。

A.(x>0)?摇?摇?摇 B.(x≠0)?摇 C.2-1(x∈R)?摇 ?摇 D.2-1(x>0)

解析 求反函数有三步骤。

步骤一:求函数f(x)的值域,由x>0可得1+>1,所以y>0。

步骤二:用y表示x得1+=2?圯x=(y>0)。

步骤三:对调x、y,注明反函数的定义域,

即y=f (x)=(x>0)。故选A。

评注 求反函数的“三部曲”是基础,是理解反函数的“根”。

三、与反函数的定义域和值域有关的求值问题

例3 函数f(x)=x-1(x≥1)的反函数为y=f (x),则y=f (2)的值为( )。

A. B.- C.1+ D.1-

解析 函数f(x)=x-1的定义域是[1,+∞),值域是[0,+∞),

所以y=f (x)的定义域是[0,+∞),值域是[1,+∞),

选项B、D都不对。

令2=x-1,解得x=±,又y=f (x)的定义域是[0,+∞),

所以x=。故选A。

四、与反函数图像有关的问题

例4 已知函数y=logx的反函数是y=f (x),则y=f (1-x)的图像是( )。

解析 要得到y=f (1-x)的图像,需把y=f (x)的图像关于y轴对称后,再向右平移1个单位,又y=logx与y=f (x)的图像关于直线y=x对称,故选C。

五、反函数的巧用

例5 对定义在区间I上的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I},已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f (x),且f ([0,1))=[1,2),f ((2,4])=[0,1),若方程f(x)-x=0有解x,则x= 。

解析 由性质1和性质3可知:

当x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4];x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1)。

而y=f(x)的定义域为[0,3],

故当x∈[2,3]时,f(x)的取值应在(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞)中。

故若f(x)=x,只有x=2。

例6 设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f[f(b)]=b成立,则a的取值范围是( )。

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]

解析 f(x)=为单增函数,由性质4可知f[f(b)]=b?圯f(b)=f (b)。

由性质6可知f(x)与f (x)的交点在直线y=x上,

所以存在x∈[0,1],使f(x)=x有解,

即存在x∈[0,1],使x=成立。

化简为x-x+a=e,

令F(x)=x-x+a,G(x)=e,x∈[0,1]

若上式成立,则y=F(x)与y=G(x)的图像有交点。如右图,a即为y=F(x)与y轴交点的纵坐标,随着a的变化,y=F(x)的图像上下移动。数形结合可得a∈[1,e],故选A。

在对应过程中,反函数中的变量关系与原函数发生了反向变化。反函数提供了观察变量关系的一个新视角。对反函数知识的学习能激活发散思维,培养创新意识。

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