王洪洲
反函数是一个较抽象的概念,而教材只给出一种描述性的定义,增加了我们理解反函数的难度。本文从反函数的有关性质、求法和巧妙应用等几个环节入手,对反函数进行全面认识。
性质1 函数y=f(x)在某一区间上存在反函数?圳该函数在该区间上是一一映射。
性质2 原函数的图像与其反函数的图像关于直线y=x对称。
性质3 原函数的定义域是其反函数的值域,原函数的值域是其反函数的定义域。
性质4 f [f(x)]=x,x属于y=f(x)的定义域;f[f (x)]=x,x属于y=f(x)的值域。
性质5 原函数与其反函数的单调性相同,原函数与其反函数的奇偶性相同。
性质6 函数f(x)为增函数,若y=f(x)的图像与y=f (x)有交点,则交点必在直线y=x上。
性质7 函数f(x)为减函数,若y=f(x)的图像与y=f (x)有交点,则交点至多有一个在直线y=x上。
性质8 函数f(x)是单调函数,若y=f(x)与y=f (x)有不在直线y=x上的交点,则函数f(x)是单调减函数。
一、反函数的存在问题
例1 函数f(x)=x-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数,则a∈( )。
A.(-∞,1] ?摇?摇?摇?摇?摇?摇 B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)?摇?摇 D.[1,2]
解析 由性质1可知,函数f(x)=x-2ax-3在区间[1,2]为单调函数,所以a?埸(1,2),
故选C。
评注 函数y=f(x)在这一区间上单调与其在该区间上存在反函数不等价。
二、求反函数的问题
例2 函数f(x)=log1+(x>0)的反函数f (x)=( )。
A.(x>0)?摇?摇?摇 B.(x≠0)?摇 C.2-1(x∈R)?摇 ?摇 D.2-1(x>0)
解析 求反函数有三步骤。
步骤一:求函数f(x)的值域,由x>0可得1+>1,所以y>0。
步骤二:用y表示x得1+=2?圯x=(y>0)。
步骤三:对调x、y,注明反函数的定义域,
即y=f (x)=(x>0)。故选A。
评注 求反函数的“三部曲”是基础,是理解反函数的“根”。
三、与反函数的定义域和值域有关的求值问题
例3 函数f(x)=x-1(x≥1)的反函数为y=f (x),则y=f (2)的值为( )。
A. B.- C.1+ D.1-
解析 函数f(x)=x-1的定义域是[1,+∞),值域是[0,+∞),
所以y=f (x)的定义域是[0,+∞),值域是[1,+∞),
选项B、D都不对。
令2=x-1,解得x=±,又y=f (x)的定义域是[0,+∞),
所以x=。故选A。
四、与反函数图像有关的问题
例4 已知函数y=logx的反函数是y=f (x),则y=f (1-x)的图像是( )。
解析 要得到y=f (1-x)的图像,需把y=f (x)的图像关于y轴对称后,再向右平移1个单位,又y=logx与y=f (x)的图像关于直线y=x对称,故选C。
五、反函数的巧用
例5 对定义在区间I上的函数g(x),记g(I)={y|y=g(x),x∈I},已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f (x),且f ([0,1))=[1,2),f ((2,4])=[0,1),若方程f(x)-x=0有解x,则x= 。
解析 由性质1和性质3可知:
当x∈[0,1)时,f(x)∈(2,4];x∈[1,2)时,f(x)∈[0,1)。
而y=f(x)的定义域为[0,3],
故当x∈[2,3]时,f(x)的取值应在(-∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞)中。
故若f(x)=x,只有x=2。
例6 设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f[f(b)]=b成立,则a的取值范围是( )。
A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]
解析 f(x)=为单增函数,由性质4可知f[f(b)]=b?圯f(b)=f (b)。
由性质6可知f(x)与f (x)的交点在直线y=x上,
所以存在x∈[0,1],使f(x)=x有解,
即存在x∈[0,1],使x=成立。
化简为x-x+a=e,
令F(x)=x-x+a,G(x)=e,x∈[0,1]
若上式成立,则y=F(x)与y=G(x)的图像有交点。如右图,a即为y=F(x)与y轴交点的纵坐标,随着a的变化,y=F(x)的图像上下移动。数形结合可得a∈[1,e],故选A。
在对应过程中,反函数中的变量关系与原函数发生了反向变化。反函数提供了观察变量关系的一个新视角。对反函数知识的学习能激活发散思维,培养创新意识。
青苹果·高一版2016年10期