高数在经济学中的应用举例

李雪峰

【摘要】高等数学是学习经济学的重要工具.但很多学生却对高数的学习不重视.本文通过几个实例来说明高数在经济学中应用，以提高学生对学习高数的积极性.

【关键词】高等数学；经济学；应用

高等数学是经管类专业的一门基础课，但很多学生认为学习高数“没有什么用”，因而对学习高数失去兴趣，觉得它枯燥乏味.即便是学习也只是为了应付考试，并没有真正掌握.本文就通过一些例子说明高数在经济学中的应用，以提高学生对学习高数的兴趣，从而使学生们重视高数的学习.

特别说明，本文中涉及的经济函数的定义出自书[1]和[2].

一、在经济学中的几个常用函数

（一）需求函数与供给函数

需求函数是指消费者在一定的价格水平上对某种商品有支付能力的需要：人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如价格、收入、替代品、偏好等.一般研究中，需求量Qd是价格p的函数，此函数称为需求函数，记为Qd=f（p）.

供给函数是生产者或销售者在一定价格水平上提供市场的商品量.一般而言，供给量Qs是价格p的函数，记为Qs=g（p）.

（二）总成本函数

成本是指生产制造产品所投入的原材料、人的劳动力与技术等生产资料的货币表现.它是产量的函数，记为C（x），其中x为产量.

总成本函数由固定成本和可变成本两部分组成.固定成本与产品的产量（或销售量）x无关.可变函数是x的函数，因此总成本是x的函数，记为

C（x）=C0+V（x）

其中C0是固定成本，x是产量（或销售量），V（x）是可变成本.

（三）总收益函数和总利润函数

总收益函数是指一定量的产品出售后所得到的全部收入，若产品的销售单价为p，销售量为x，则总收益函数为R（x）=P（x）.

平均收益函数为R（x）=R（x）x=xP（x）x=P（x）.

若产品的销售量即是生产量，则生产x单位产品的总利润函数等于总收益函数与成本函数之差，即L（x）=R（x）-C（x）.

（四）边际函数与弹性函数

设函数y=f（x）可导，则导函数f′（x）在经济学中又称为边际函数.

设函数y=f（x）在点x0处可导，函数的相对改变量Δyy0=f（x0+Δx）-f（x0）f（x0）与自变量的相对该变量Δxx0之比，当Δx→0limΔx→0Δy/y0Δx/x0存在，则称此极限为f（x）在x=x0处弹性，记为EyEx|x=x0.

若f（x）在任意x处可导，则称EyEx=xy·f′（x）为f（x）在x处的弹性函数.

二、极限在经济方面的应用

极限概念是微积分中最基本的概念.微积分中很多概念都是用极限概念来表达的.如导数和定积分在定义时都是建立在极限概念的基础之上.而在经济学中同样有很多概念也是通过极限概念来定义的.所以掌握极限的概念及其思想方法对于掌握经济学中重要概念有很大的帮助.下面就通过一个例子——复利与连续复利问题，来说明极限在经济学中应用.

例1有本金10000元，存款一年，年利率为12%，求到期本利之和为：

（1）如果一年计息1期；（2）按连续复利计息.

三、经济中的最值问题

在生产销售中，到处可见“最大、最小”这类问题.生产者追求最低成本，销售者要得到最大利润等等.这些实际问题的解决办法就要借助高等数学中的求解最大值与最小值的方法.

例2某专门卖宠物用品连锁店的市场推销部门研究他们销售的金鱼缸泵价格需求曲线近似为

p=120-20lnx（0

其中x为每周销售这种泵的数量，p是每个泵的价格（以元为单位）.若每个泵的成本为30元，试求每周取得利润的最大值以及相应的每周泵的销售量.

解由已知可求得收益函数R（x）为

R（x）=px=（120-20lnx）x=120x-20xlnx.

其成本函数为C（x）=30x，

因此利润函数为

L（x）=R（x）-C（x）=120x-20xlnx-30x

=90x-20xlnx，

则L′（x）=90-20lnx-20=70-20lnx.

令L′（x）=0，求得L（x）的驻点为x=e72≈32.

又因为L″（x）=-20x<0，

所以L（x）在x=32处取得极大值.而在0

L（32）=90×32-20×32ln32=640（元）.

此时相应每个泵的价格为p=120-20ln32≈50（元）.

四、定积分在经济学中的应用

学了一元函数积分学后就知道在经济学中的成本函数，总收入函数，利润函数分别是边际成本函数，边际收入函数，边际利润函数的原函数.那么再根据定积分定义及其计算方法，便可求得相应的函数.

例3已知某商品的边际收益为R′（x）=200-12x（元/单位），其中x表示该商品的产量.求该商品的总收益函数，并求当商品的产量达到100单位时总收益.

解函数为

R（x）=∫x0（200-12t）dt=[200t-t24]x0=200x-x24，

则平均收益函数为R（x）=R（x）x=200-x4.

当生产100单位时，总收益为

R（100）=200×100-10024=17500（元），

平均收益为R（100）=200-1004=175（元）.

高等数学在经济学中的应用的例子还有很多，由于篇幅有限，在此不再列举.通过这些例子，足以说明学习高数对于经管类专业学生的重要性.没有高数课程的铺垫，专业课就很难顺利进行.学习高等数学不仅为专业课的学习打下了坚实的基础，而且还可以在学习的过程中不断培养学生们的逻辑思维能力.这种能力可以更好地帮助我们解决很多实际问题.

【参考文献】

[1]庄兴元，董建华.高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2009：2-5.

[2]窦连江.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006：13-14.

[3]张庆尧.实用数学[M].北京：机械工业出版社，2008：111-114.