第一讲数与式

文/邓革周

第一讲数与式

文/邓革周

数与式是初中数学的基础知识，它包括实数的有关概念和运算、代数式、整式、因式分解、分式及二次根式等.在中考试卷中，该内容所占的分值为18%左右.现以2015年中考数学试卷为例，将数与式的常考知识点归纳如下，供你复习时参考.

考点1正、负数及其应用

例1（1）（2015年广州卷）四个数-3.14，0，1，2中为负数的是（）．

A.-3.14B.0C.1D.2

（2）（2015年南通卷）如果水位升高6m时，水位变化记作+6m，那么水位下降6m时，水位变化记作（）．

A.+3mB.-3mC.+6mD.-6m

解析：（1）选A．

（2）因为上升记为“+”，所以下降记为“-”，水位下降6m记作-6m．选D.

温馨小提示：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数，也不是负数.在一对具有相反意义的量中，规定了其中一个量为正，则另外一个量为负.

考点2实数的概念及分类

A.4B.2C.1D.3

考点3相反数、倒数和绝对值

例3（1）（2015年咸宁卷）-6的倒数是．

（2）（2015年菏泽卷）如图1，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）．

A.点MB.点N

C.点PD.点Q

图1

图2

（2）如图2，∵点M袁N表示的有理数互为相反数，

∴原点的位置大约在O点，

∴绝对值最小的数的点是P点．选C．

考点4科学记数法

例4（1）（2015年长沙卷）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承载人数约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（）．

A．1.85×105B．1.85×104C．1.8×105D．18.5×104

（2）（2015年攀枝花卷）已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）．

A.1.239×10-3g/cm3B.1.239×10-2g/cm3

C.0.1239×10-2g/cm3D.12.39×10-4g/cm3

解析：（1）185000=1.85×105.选A.

（2）0.001239=1.239×10-3．选A.

温馨小提示：科学记数法是将一个数写成a伊10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.（1）当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；（2）当原数的绝对值小于1时，n是负整数，n等于原数中左起第一位非零数字前面0的个数（含小数点前的0）.另外，如果所给数含有万、亿这样的数字单位，应先将数还原，再用科学记数法表示.1万越1×104，1亿越1×108.

考点5平方根、算术平方根、立方根

（2）（2015年安徽卷）-64的立方根是．

（2）因为（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4．

温馨小提示：解答与平方根、立方根有关的问题时，应注意符号，不要出现如下错误：①27的立方根是±3；②=±8；③的平方根是±9.

考点6实数的大小比较（范围估算）

例6（1）（2015年武汉卷）在实数-3，0，5，3中，最小的实数是（）．

A.-3B.0C.5D.3

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b

A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间解析：（1）选A．

（2）将a袁b袁c变形后，根据分子相同，分母大的反而小即可得出结论．

即a＞b＞c．选A．

温馨小提示：实数大小的比较方法有：（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.两个负数绝对值大的反而小.（2）数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.（3）差值比较法：设a袁b是任意实数，则a-b＞0⇔a跃b；a-b＜0⇔a约b；a-b=0⇔a=b.除此之外，还有商值比较法、平方法、倒数法等.

考点7实数的运算

温馨小提示：实数的混合运算，要明确有关概念、性质、运算法则和运算律，熟练掌握运算顺序.实数运算常常与绝对值、锐角三角函数、二次根式、指数运算结合在一起考查.注意：可以得出

考点8列代数式与求代数式的值

例8（1）（2015年恩施卷）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为（）元．

（2）（2015年娄底卷）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a-1的值为（）．

A.0B.1C.-1D.-2

解析：（1）设原售价是x元，由题意得（x-a）（1-20%）=b，解得x=a+b．选A．

（2）∵a2+2a=1，∴原式=2（a2+2a）-1=2-1=1．选B.

温馨小提示：当字母的值不能或不易求出时，要仔细观察所求代数式与已知条件之间的内在联系，对所求代数式或已知条件变形，使变形后的式子可以整体代入求值.

考点9整式的有关概念

例9（1）（2015年通辽卷）下列说法中，正确的是（）．

C.3ab2的系数是3aD.xy2的系数是

（2）（2015年遵义卷）如果单项式-xyb+1与xa-2y3是同类项，那么（a-b）2015=．

解析：（1）选D.

温馨小提示：把握同类项的两个“相同”和两个“无关”：所含字母相同，相同字母的指数相同；同类项与字母的顺序无关，与系数无关.

考点10幂的运算性质

例10（2015年桂林卷）下列计算正确的是（）．

A.（a5）2=a10B.x16÷x4=x4C．2a2+3a2=6a4D．b3·b3=2b3

解析：（a5）2=a10.选A.

温馨小提示：幂的运算性质及整式的运算是中考的必考知识点.正确理解幂的运算性质、乘法公式是解题的关键.注意避免出现a3·a5=a15，x16÷x4=x4，（x2）3=x5，（xy）2=xy2等错误.

考点11整式的化简与求值

例11（2015年长沙卷）先化简，再求值：（x+y）（x-y）-x（x+y）+2xy，其中x=（3-仔）0，y=2．

解析：（x+y）（x-y）-x（x+y）+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2，

∵x=（3-仔）0=1，y=2，∴原式=2-4=-2．

温馨小提示：整式的化简与求值，常涉及单项式乘以单项式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加减等.掌握乘法公式是解题的前提，用整体法求值常能减少运算量.

考点12与整式有关的规律探究性问题

例12（2015年山西卷）如图3是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形……依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.

图3

解析：∵第（1）个图案有3+1=4个三角形，

第（2）个图案有3×2+1=7个三角形，

第（3）个图案有3×3+1=10个三角形，

……

∴第n个图案有3n+1个三角形．填3n+1．

温馨小提示：从简单的情形入手，随着序号或编号的增加，分析后一个图形与前一个图形的变化情况，找出变化规律，从而推出一般性结论.

考点13因式分解

例13（1）（2015年宁夏卷）因式分解：x3-xy2=．

（2）（2015年宜宾卷）把代数式3x3原12x2+12x分解因式，结果正确的是（）．

A.3x（x2-4x+4）B.3x（x-4）2C.3x（x+2）（x-2）D.3x（x-2）2

解析：（1）x3-xy2=x（x2-y2）=x（x-y）（x+y）．

（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解.

原式=3x（x2-4x+4）=3x（x-2）2．选D.

温馨小提示：因式分解的步骤是一提(提公因式)、二套(套公式)、三验(检验是否分解彻底).套公式时要注意：若是两项，一般用平方差公式；三项，一般用完全平方公式.

考点14分式有意义、无意义及分式的值为0的条件

A.x=-2B.x≠2C.x＞2D.x≠-2

（2）由分式的值为0得x2-5x+6=0，2x-6≠0.

由x2-5x+6=0，得x=2或x=3，由2x-6≠0，得x≠3．∴x=2.

温馨小提示：（1）分式有意义的条件是分母不等于0.（2）分式无意义的条件是分母等于0.（3）分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0.（4）分式为正数的条件是分子、分母同号.（5）分式为负数的条件是分子、分母异号.

考点15分式的化简与求值

∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，

∴1＜a＜5，即a=2，3，4，

当a=2或a=3时，原分式没有意义，则当a=4时，原式=1．

温馨小提示：正确化简分式是解题的关键.求代数式的值有直接代入求值和整体代入求值两种方法，解题要根据题目的条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的值必须使原各分式都有意义，且除数不能为0.如本题，a不能取2和3.

考点16二次根式的概念，二次根式的性质

A.m＞原1B.m≥原1

C.m＞原1且m≠1D.m≥原1且m≠1

A.1B.-1C.2a-3D.3-2a

（2）当1＜a＜2时，a-2＜0，1-a＜0，

温馨小提示：（1）确定被开方数中字母的取值范围，可根据式子有意义的条件a≥0，解不等式即可.当有两个二次根式，两个二次根式都要有意义；分母中有字母时，还要考虑分母不等于零.这些情况需列出不等式组求解.（2）在化简时，要先判断a的符号，再去根号，特别地，当a＜0时，它等于原a，不是a.

考点17二次根式的计算

温馨小提示：在二次根式的运算或化简中，乘法公式、因式分解等法则、方法均可使用.

责任编辑：王二喜