随机捕食与被捕食系统正解的全局性

周巧姝

(长春师范大学学报编辑部，吉林长春 130032)



随机捕食与被捕食系统正解的全局性

周巧姝

(长春师范大学学报编辑部，吉林长春 130032)

本文给出了一类捕食与被捕食系统具有随机扰动时正解的全局性。

随机微分方程；正解；全局性

本文主要研究如下的随机微分方程

(1)

正解的全局性.其中,a>0,b≥0,c>0,d>0,e>0,f>0,x(0)=x0>0,y(0)=y0>0.B(t)是布朗运动，σ1>0,σ2>0是随机扰动.微分方程(1)没有随机扰动时，

(2)

是生物数学中常见的捕食与被捕食系统，其中x,y分别表示食饵与捕食者的大小，且为时间t的函数，常数a,d分别表示食饵种群的自然增长率和捕食者种群的自然死亡率，b表示种内竞争强度，很多学者对(2)进行研究并且得到了较好的性质.本文对(2)具有随机扰动时正解的全局性给予充分证明，这对于生物种群的长期存在是非常有意义的.

1 预备知识

引理1.1 假设X(t)是如下随机微分方程的解

dX=Fdt+GdW.

(3)

令Y(t):=u(X(t),t).则Y是如下随机微分方程的解

引理 1.2 假设b:Rn×[0,T]→Rn,B:Rn×[0,T]→Mm×n连续并且满足下面的条件：

(C4)X0与W+(0)独立，其中W(t)是一个确定的m维布朗运动.

则如下的随机微分方程

2 正解的全局性

定理1 假设随机微分方程(1)存在唯一连续局部正解并且满足a>0,b≥0,c>0,d>0,e>0,f>0,x(0)=x0>0,y(0)=y0>0.B(t)是布朗运动.σ1>0,σ2>0是随机扰动,则(1)在[0,)上存在全局的正解.

证明 令φ1(t)是下面方程

的解，其中a>0,b≥0,x(0)=x0>0.B(t)是布朗运动，σ1>0是随机扰动.则解φ1(t)可以表示成

由于(1)的解，则

并且根据(1)的解还有下式成立

φ1(t).

由上述不等式，可以得到

0<φ1(t)≤x(t)≤φ1(t),0<φ2(t)≤y(t)≤φ2(t).

其中，φ1(t),φ2(t)在[0,)上有定义，则(x(t),y(t))不会在有限时间内爆破，即爆破时间τe=.于是，方程(1)的正解具有全局性.

[1]泽夫·司曲斯.随机微分方程理论及其应用[M].上海:上海科技文献出版社,1986.

[2]L.Arnod.Stochastic differential equations theory and application[M].John-Wiley,1972.

[3]I.I.Gihman,A.v.skorohod.Stochastic differential equation[M].Springer-Verlag,1972.

[4]D.Q.Jiang,N.Z.Shi.A note on nonautonomous logistic equation with random perturbation[J].J.Math.Anal.Appl., 2005(303):164-172.

The Globality of the Positive Solution of Predator-Prey System with Random Perturbation

ZHOU Qiao-shu

(Journal of Changchun Normal University, Changchun Jilin 130032, China)

In this paper, we deal with the globality of the positive solution of Predator-Prey system with random perturbation.

stochastic differential equation; positive solution; globality

2016-10-01

周巧姝(1976- )，女，副编审，硕士，从事应用数学与编辑学研究。

O175

A

2095-7602(2016)12-0006-02