具有收获率的干扰系统4个正概周期解

（广西科技师范学院数学与计算机科学学院，广西来宾 546199）

具有收获率的干扰系统4个正概周期解

姚晓洁

（广西科技师范学院数学与计算机科学学院，广西来宾 546199）

研究了一类具有修正的Holling－TannerⅢ类功能反应和收获率的干扰Leslie系统的正概周期解.通过利用重合度理论的延拓定理和不等式分析技巧，获得了该系统至少存在4个正概周期解的充分条件，推广和改进了早期文献的相关结果.

修正的Holling－TannerⅢ类功能反应；收获率；干扰Leslie系统；正概周期解；重合度

0 引言

近年来，关于具有功能反应的相互干扰的生物种群系统的周期解或概周期解研究吸引了许多学者的广泛关注，并取得一些结果.最近，文［7］研究具有脉冲和收获率的Lotka-Volterra竞争系统

概周期解问题，利用重合度理论和一些分析技巧，获得了系统（1）至少存在四个正概周期解的充分条件.然而，据我们所知，对具有功能反应的相互干扰的生物种群系统的多个正概周期解研究却求见相关报道.因此，本文研究如下一类具有修正的Holling－TannerⅢ类功能反应和收获率的相互干扰Leslie捕食系统

的概周期解，其中x1(t)，x2(t)分别表示食饵种群和捕食者种群在t时刻的密度，n1(t),n2(t)分别表示饱和情形时食饵种群和捕食者种群的数量，分别表示饱和情形时食饵种群和捕食者种群的内禀增长率，m（0〈m≤1）表示干扰系数，ni(t)，fi(t)，ai(t)，bi(t)，hi(t)，c(t)(i=1,2)都是非负的连续概周期函数，hi(t)表示收获率，k1,k2〉0为常数.

本文通过利用重合度理论的延拓定理和不等式分析技巧，获得了该系统（2）至少存在4个正概周期解的充分条件.

1 准备知识

定义1 称函数x(t)∈C(R)=C(R,R)在R是概周期解，如果对∀ε〉0，集合

是相对稠密的，即对 ∀ε〉0，存在一个实数 l=l(ε)，使得在每个长度为 l的区间内至少有一个τ=τ(ε)∈T(x,ε)，使得成立.集合T(x,ε)叫做x(t)的ε-概周期集，τ叫做x(t)的ε-概周期，l(ε)为T(x,ε)的包含区间长度.

记

AR(R)={p (t):p(t)是R上实值概周期函数} ，

AR(R,Rn){( x1,x2,…xn)T:xi∈AP(R),i=1,2,…,n,n∈Z+}.

引理1［8］如 果 f(t)∈AR(R)，则 f(t)在R有界.

引理2［9］如果 f(t)∈AR(R)，则存在t0∈R使得 f(t0)=m(f).

引理3［10］假设x(t)∈AP(R)∩C1(R),且x′(t)∈C(R)，记，则对∀ε〉0，有下列结论成立：

（i）存在点ξε∈[0,∞），使得x(ξε)∈[x∗-ε,x∗]和x′(ξε)=0

（ii）存在点 ξε∈[0,∞），使得x(ηε)∈[x∗,x∗+ε]和x′(ηε)=0

设X，Z是赋范向量空间，L:DomL⊂X→Z为线性映射，N:X×[0 ,1]→Z为连续映射，如果dim KerL=codimImL〈+∞，且ImL为Z中的闭子集，则映射L称为零指标的Fredholm映射.如果L是零指标的 Fredholm映射，且存在连续投影 P:X→X及 Q:Z→Z使得 ImP=KerL,ImL=KerQ=Im(I-Q)，及X=KerL⊕KerP,Z=ImL⊕ImQ，则L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆，设其逆映射为Kp.设Ω为X中有界开集，如果有界且是紧的，则称上是L-紧的.由于ImQ与KerL同构，因而存在同构映射J:ImQ→KerL.

引理4［11］（Mawhin延拓定理）设L是指标为零的Fredholm映射，N在是L-紧的，假设：

（i）对任意的λ∈(0,1)，方程Lx∈λN(x,λ)的解满足x∉∂Ω；

（iii）deg{J QN(x,0),Ω∩KerL}≠0.

对x∈∀P(R)，我们定义

取X=Z=V1⊕V2，这里

其中

且φ∈C([-σ,0],R，i=1，2σ〉0，a〉0是给定的常数.定义范数

容易得到：

引理5X和Z在上面的定义范数是Banach空间.

引理7 定义N:X×[0,1]→Z,N(z(t),λ)=(N1(z(t),λ),(N2(z(t),λ))T这里

及

引理8［12］假设，对函数和以下结论成立:

（i）f(x,y,z)和g(x,y,z)对x∈(0,+∞)分别是单调递增和单调递减的;

（ii）f(x,y,z)和g(x,y,z)对y∈(0,+∞)分别是单调递减和单调递增的;

（iii）f(x,y,z)和g(x,y,z)对z∈(0,+∞)分别是单调递减和单调递增的.

我们作如下假设：

再记

2 主要结果

定理1 如果（A1）－（A3）满足，则系统（3）至少存在4个不同的正概周期解.

证明 为了应用引理4来证明系统（3）至少存在4个正概周期解，我们只须在小X中找到4个有界开集即可.考虑方程，即

假设(u1(t),u2(t))T∈DomL⊂X是（4）对某个 λ∈(0,1)的概周期解，这里则由引理3可知，对任意，存在使得

同理，由（5）和（7）式可得

由（6）和（11）式可得

即有

结合条件（A1）可得

类似，由（8）和（10）式可得

由（6）和（10）式可得

从而有

结合条件（A1）可得

类似，由（8）和（10）式可得

由（13）-（16）式知

由（7）、（11）和（17）式，可得

即有

结合条件（A2）可得

同理，由（9）、（11）和（17）式，可得

由（7）、（11）和（17）式，可得

即

结合条件（A2）可得

类似，由（9）、（11）和（17）式，结合条件可得

由（16）-（19）式可得

显然，Ωi=(i=1,2,3,4)是X上的有界开集，且Ωi∩Ωj=φ(i,j=1,2,3,4,i≠j)，从而Ωi=(i=1,2,3,4)满足引理4的条件（i）.现在证明引理4的条件（ii）也成立，即证若时有QN(u,0)≠0(i=1,2,3,4).用反证法.假设QN(u,0)=0，则根据引理2知，存在t0∈R使得

并且由引理8易知z*j∈Ωj，j=1，2，3，4，这就产生了矛盾，即引理4的条件（ii）也成立.由于KerL=ImQ，取J=I，直接计算可得

于是

这说明引理4的条件（iii）成立.故根据引理4知，系统（2）至少存在4个不同的概周期解.

由定理1立即可得：

推论1 如果下面条件满足：

则概周期系统

至少存在四个不同的正概周期解.

［1］雷鸣.基于比率的Holling-Tanner干扰扩散系统的周期解［J］.吉林大学学报（理学版），2010，48（1）:55-49.

［2］张凤，陈文成，张永明.一类具有相互干扰的捕食与被捕食系统的定性分析［J］.生物数学学报，2014，29（1）:169-173.

［3］王斌.时标上一类具有相互干扰的捕食者-食饵系统周期解的存在性［J］.云南民族大学学报（自然科学版），2012，21（6）:423-428.

［4］Du Zengji，Lv Yansen.Permanence and almost periodic solution of a Lotka–Volterra model with mutual interference and time delays［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37（1）:1054-1068.

［5］Guo Haijun，Chen Xiaoxing，Existence and global attractivity of positive periodic solution for a Volterra model with mutual interference and Beddington–DeAngelis functional response［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，217（12）:5830-5837.

［6］Lin Xiao，Chen Fengde.Almost periodic solution for a Volterra model with mutual interference and Beddington-DeAngelis functional response［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，214（2）:548-556.

［7］王奇，陆地成.一类Lotka-Volterra竞争系统概周期解的存在性和多解性［J］.系统科学与数学，2015，35（8）:988-998.

［8］何崇佑.概周期微分方程［M］.北京:高等教育出版社，1992.

［9］Li Y K，Ye Y.Multiple positive almost periodic solutions to an impulsive non-autonomous Lotka-Volterra predator-prey system with harvesting terms［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2013，18（11）:3190-3201.

［10］Zhang T，Wei T.Multiplicity of positive almost periodic solutions in a delayed Hassell-Varley-type-predator-prey model with harvesting on prey［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，2014，37（5）:686-697.

［11］Gaines R E，Mahwin JL.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin:Springer，1977.

［12］Zhao K H，Li Y K.Multiple positive periodic solutions to an non-autonomousLotka-Volterra predator-prey system with harvesting terms［J］.Journal of Differential Equations，2011，49:1-11.

Four Positive Almost Periodic Solutions of Interference System with Harvesting Terms

YAO Xiaojie

（College of Mathematics and Computer Science,Guangxi Science&Technology Normal University,Laibin,Guangxi,546199 China）

This paper investigates the existence of positive almost periodic solutions for a kind of interference Leslie system with modi⁃fied Holling－TannerⅢfunctional response and harvesting terms.By using a continuation theorem based on coincidence degree theory and some analysis technique,some sufficient conditions for the existence of at least four positive almost periodic solutions of the system are obtained,which generalize and improve the related results of early literature.

modified Holling－TannerⅢfunctional response;harvesting terms;interference Leslie system;multiple positive almost periodic solutions;coincidence degree

O175

A

2096-2126（2016）05-0138-07

（责任编辑：李洁坤）

2016-09-03

广西高校科学技术研究项目（YB2014468）；广西教改项目（2015JGZ160）。

姚晓洁（1970—），女，广西融安人，副教授，研究方向：微分方程。