对知识过程性探索的思考—记《十字相乘法》引入部分的教学

广东省广州市天河中学(510000)易丽萍

山西省蒲县鸿桥中学(041299)张文丽

对知识过程性探索的思考—记《十字相乘法》引入部分的教学

广东省广州市天河中学(510000)易丽萍

山西省蒲县鸿桥中学(041299)张文丽

十字相乘法是一种重要的因式分解方法,作为中学广泛应用的一种恒等变形,它在思维上给学生带来延续性的影响.教材中此部分内容随着课程标准的改变,从“必学内容”调整为现在的“阅读与思考”,笔者尝试对比几轮不同的执教方式,反思十字相乘法引入部分的教学,思考如何让学生在课堂活动中主动探索十字相乘法的形成过程,达到获得数学学习经验,培养数学素养的目的.

一、引思

在前几轮的执教中,笔者均在“提取公因式”、“公式法”方法的复习后,直接进入“十字相乘法”的教学,为达到让学生快速掌握运算方法的目的,往往把“十字分解图”和盘托出,再通过大量的技能训练,强化学生的运算能力.这种直接教学法过于突出了公式特点记忆和强化套用练习,弱化了学生对十字相乘法的探索过程,导致学生并不清晰学习“十字相乘法”的起源、意义以及作用,不利于学生对知识内在的深度认知和优化思考.

十字相乘法因式分解是整式乘法的逆向思维.求导过程的完善,其中渗透了数学建模的思想,基于这点考虑,笔者结合新一轮的教学要求,多方参考,尝试新的引入方式,以符合学生认知规律的形式切入新知识进行探索,追求学生“知其所以然”的课堂学习境界.

二、十字相乘法教学引入设计

(一)设计过程

1.第一稿.基于“整式的乘法”与“因式分解”是方向相反的运算,初稿引入部分设计如下:

环节一:知识回顾:(学生独立完成,教师巡视批改后点评,师生找规律)

1.计算:题组一

2.逆向计算,展示题组二:

此稿设计初衷是:期望通过四组计算题开展对比教学,让学生发现二次三项式的特点,并归纳出“十字相乘法”.但仔细推敲这种设计后,笔者感觉这种引入过于直接,目的性太明显,且技能训练色彩浓,学生从中获得的主要是示范模仿的能力,至于“为什么要学十字相乘法”、“十字相乘法的优越性是什么”、“怎样探索十字相乘法”,设计中没有设置任何思考空间.即:没有解决是什么、为什么、怎么办的问题.

2.第二稿.在与备课组老师交流后,笔者将引入部分调整为:

学生口答:乘法计算:(学生计算,教师点评,师生共找规律)

小结:(x+p)(x−q)的结果中,一次项系数是____,常数项是___.

在一教学班试讲后,听课老师认为,学生在比较学习中能够发现规律,在用规律分解因式时体会到了公式在运算中的简便性,但仍没有真正明白学习“十字相乘法”的必要性.

3.第三稿.于是笔者再次查阅教材,挖掘教材中与十字相乘法有关联的内容,尝试找到十字相乘法结构产生的过程痕迹,以此来设计学生认知知识的热点,解决教师和学生心中共同的疑问.

思考1:既然“整式的乘法”与“因式分解”是方向相反的运算,那么教材中:

图1

这两部分内容是否能够对比教学,让学生自己发现p,q与p+q之间的关系呢?

思考2:如何在教学中充分体现“十字相乘法”相对于其他方法的优越性呢?

在以上两个问题的推动下和区教研员的指导下,笔者在公开课前选取了一种截然不同的引入方式,让学生明确为什么要学习“十字相乘法”:

【课前阅读材料】(学生课前自主阅读,小组探讨十字相乘法运算的简洁性和必要性)

因式分解:

……

(4)x2+5x+6=?

解:分析:将x2+5x+6转化为利用完全平方公式尝试因式分解.

试一试:因式分解x2−2x−15

环节二、整式乘法中的规律:

1.学生口答:乘法计算:

(1)(x−2)(x+3)=___

(2)(x+2)(x−3)=____

(3)如图,(x+p)(x+q)=___

图2

小结:(x+p)(x+q)的结果中,一次项系数是____,常数项是____.

2.确定下列各式中的m值:

(1)(x+2)(x+3)=x2+mx+6,则m=___.

(2)(x+1)(x+6)=x2+mx+6,则m=____.

因授课班级学生各方面能力属中等水平,所以授课时将引入部分作为阅读材料,在课前由学生自主阅读、小组自行讨论认知.在自我阅读和小组共学的过程中,学生发现,材料中的这类二次三项式不能直接用“提取公因式”和“公式法”分解因式,但只需要稍作变形,就可以用完全平方公式和平方差公式共同完成因式分解,不足之处是运算过程过于复杂,稍不留神就易出错,计算时需要足够的细心和耐心.学生在实际操作的过程中主动产生“我们需要更加便捷快速的方法来进行因式分解”的迫切性,从而解决为什么学的问题.

接着笔者再安排学生回顾整式乘法,从找规律的视角探讨如何学的问题.利用学生已有的多项式乘法知识基础和本身的操作经验,引导学生从数字规律抽象出字母规律,从多项式乘法规律归纳出十字相乘法运算的特征,顺利解决“为什么学”与“如何学”的问题,感悟知识的形成过程,让数学学习不单具备“技能训练”的外壳,更能够拥有“思想意识”的内在.

(二)实施效果的思考

从公开课开展的情况来看,学生在引入设计的铺垫和指引下,亲身体会十字相乘法比完全平方公式加平方差公式的方法更有解题优势,迂回的“阅读材料”反而激发了学生对“十字相乘”这一方法的学习兴趣——便捷实用,从而产生了课堂学习中主动求知、建构、应用的积极行为,并在自我的行为中获得做数学的能力.

教学实践的效果表明,只关注技能训练的教学在学生学习的短期效益中优势明显,且对教师来说,此类教学方式不需要太多的思考,比较省事.然而学生一旦进入需要思维深度的学习中,往往缺乏持久性地竞争能力和耐力,教师亦然.让学生经历知识的形成过程,对学生的自主发现意识的培养有着重要的意义,有兴趣才有动力开展学习研究,这应该就是学生和教师教学相长的源动力吧.

三、反思结语

过程是学生学习的重心,知其然而不知其所以然的学习和教学将缺乏后续的延展能力.教学应多为学生提供呈现数学思维的学习机会、创造数学交流的环境、充足的探索知识产生和发展过程的时间、展示学习成果个舞台,着眼于为什么学,如何学,落实课堂中学生对知识的过程性研究,促使学生在实践、操作、交流、碰撞、感悟、思考、总结后,从本质上真正认识知识的内在实质,让学生的学习、教师的教学都能更加深入,更加有价值.

[1]蔡金法,聂必凯,许世红.做探究型教师[M].北京师范大学出版社, 2015年版.