初中生数学交流素养及其测评标准探索*

广东省教育研究院(510035)许世红

初中生数学交流素养及其测评标准探索*

广东省教育研究院(510035)许世红

随着社会进步和数学自身发展,特别是在信息技术推动下,数学内容、思想、方法和语言广泛渗透在社会的方方面面,数学成为人们生活、工作和学习必需的工具;数学不再仅仅是关于空间形式、数量关系、模式等的静态知识体系,也是人们处理现实问题、预测未来、分享资讯的一种语言,更是人们把握客观世界模式、整理客观世界秩序的一种基本思维方式;“学会数学交流”不仅已成为公民数学素养的重要组成部分,在数学教与学活动中也得到前所未有的重视.初中生处于义务教育的高年段,正位于各种能力与素养形成的关键期,明晰初中生数学交流素养的内涵与结构、测评标准,有利于更好地了解初中生数学交流发展状况、落实“学会数学交流”.

一、数学交流的研究概况

(一)国际课程改革潮流中的数学交流

20世纪90年代以来,“学会数学交流”逐渐成为世界各国数学课程改革共同关注的重要内容,被列入重要的课程目标.

1.美国[1].数学交流在美国的数学课程中一直占有重要的地位.《美国学校数学课程与评价标准(1989年)》将学校教学内容分为解决问题、数学交流、数学推理、数学联系四条线索,详细制定了从幼儿园到12年级各年级对“数学交流”的教学要求和评价标准.《学校数学的原则和标准(2000年)》则把“数学交流”作为数学六项能力之一,并制定了数学交流的标准,具体包括四个方面:(1)学生通过交流,组织和巩固数学思维;(2)学生能够清楚连贯地与同伴、教师或他人交流数学思维;(3)学生能够对他人的数学思维和策略进行分析和评价;(4)学生能够用数学语言精确地表达数学观点.

2.英国[2].《英国国家课程:数学学习项目》(2014年)单列“口头表达”一节,特别指出,口头表达非常重要,口头表达的学习应贯穿从数学认知、社会应用到数学语言等课程与教学的各个方面.学生听说水平与信息接收的多样性、信息表达的丰富性,在丰富数学词汇、做出数学判断、给出数学论点、进行数学证明等方面起着关键作用.学生必须学会清晰思考并帮助他人也达成同样效果;教师应组织学生通过讨论等各种活动来探索、纠正对数学的误解.

3.新加坡[3].新加坡中学数学课程强调在运用数学方法解决问题的过程中发展学生的思维、推理、交流、应用和元认知技能,并专门界定了问题解决过程中数学交流的涵义:“交流是指运用数学语言准确、简洁、逻辑地表达数学思想和观念的能力.它能帮助学生加深对数学的理解,提高数学思维水平”.在“学习经验”一节,强调必须创设学习机会让学生通过运用数学语言和方法共同解决问题、表达数学思考,来发展他们的合作交流技能.

4.中国[4].我国《义务教育数学课程标准(2011年版)》从理念层面把合作交流定位为学习数学的重要方式,将“清晰地表达自己的想法”置于课程总目标“数学思考”方面的第三条,将“学会与他人合作交流”置于课程总目标“问题解决”方面的第三条,将“养成合作交流的学习习惯”置于课程总目标“情感态度”方面的第四条中,并在课程的三个学段目标中给予进一步的阐述.由此可见,数学交流贯穿了课程目标、课程实施的各个环节,需要师生予以高度重视.

除了美国、英国、新加坡以外,法国、德国、芬兰、日本、澳大利亚等国家的课程标准或教学大纲中,对数学交流都有不同程度的要求.许多国家或地区虽然在课程层面对数学交流及其素养或能力的培养给予了高度重视,但除了美国外,各国对数学交流包含什么内容没有给予清晰的界定,对如何评价数学交流素养水平缺少有效界定.

(二)国际教育测评研究中的数学交流

1.OECD与PISA.经合组织(简称OECD)研发的国际学生测评项目(简称PISA)是一项面向15岁在校学生的大规模国际性教育评价项目,每3年举行一次,测评目的是了解在终身学习背景下,年轻一代在阅读、数学、科学、财经、协作问题解决等领域为成人生活所做的准备情况,并为参与测评国家调整和制定教育政策提供决策依据.PISA2015数学素养中包含了“交流,描述,设计策略,数学化,推理和论证,使用符号化、形式化和技术性语言和运算,使用数学工具”共7种基本能力,对数学交流能力的考查贯穿在数学过程的“表达、解释、评估”等各个环节中.

2.IEA与TIMSS.国际数学与科学研究趋势(简称TIMSS),是由国际教育成就评价协会(简称IEA)组织的大型国际比较教育研究项目,每四年组织一次,基于课程命题,主要研究不同国家四年级、八年级学生数学与科学的学习情况,并系统研究同一国家学生从四年级至八年级数学与科学的学习变化情况.TIMSS 2015分了解、应用、推理三个认知层次对学生能力进行测评,了解涵盖学生需要知道的数学事实、概念和程序,应用侧重于运用所学知识和理解力解决或回答问题的能力,其中数学思维、数学交流是思想表达的核心,推理则指在不熟悉情境下、复杂背景下、多步问题中解决非常规问题的能力.由此可见,对数学交流的考查,主要集中在“应用”层次[5].

PISA、TIMSS在数学素养、数学教与学等方面的评估理念、评估技术、评估方法引领着基础教育评估事业的发展.虽然这些评估项目没有专门针对数学交流素养开展评价,但其研究数学素养结构与水平的思路值得学习与借鉴.

(三)基础教育课改中的数学交流

随着我国基础教育数学课程改革越来越重视“数学交流”,我国数学教育研究者与工作者开始关注“数学交流”,现有国内文献显示,我国对数学交流理论的认识和理解虽大多数处于引进、模仿与移植阶段,但研究成果逐渐丰富起来.

1.数学交流结构与层次研究.沈呈民等(1991)认为数学交流是数学信息接受、加工、传递的过程,其载体是数学语言,根据交流程度可分为元素层次、命题层次和模式层次[6].杨建辉(2005)认为广义的数学交流是指探索数学和应用数学解决问题的动态过程,狭义的数学交流是指数学学习和教学中使用数学语言、数学方法进行各类数学活动的动态过程,包括利用交流学数学和运用数学进行交流两个方面[7].沈丹(2014)认为数学交流能力是指通过对数学文本的阅读与理解来接受数学意义、以书面或口头形式表达数学见解的能力,有三种表现形式:数学对话、写作和阅读,借助PISA理论将数学交流能力划分为识别与模仿、联系与转换、反思与拓展三个水平[8].

2.数学交流现状与实践研究.闵海亮(2011)认为课堂上的数学交流包含表达、倾听两个层面,从言语交流(包括数学语言、数学课堂提问、师生话语权3个维度)和非言语交流(包括仪表、仪态、面部表情、目光交流、手势等5个维度)两个角度,采用课堂录像的方式对广东和江苏两节高中数学《余弦定理》课进行了深入剖析,结合问卷调查发现,数学课堂上学生学习交流方式单一,回答都过于简短,话语量过低,参与程度始终不够,交流意愿并未得到有效改善,没能合理地展现自我[9].栾瑞红(2009)对北京某初中初二和初三年级全体学生进行问卷调查,发现:初中生有一定的交流意识,比较喜欢数学交流,交流问题的态度基本认真,但内容狭窄,且某些数学交流缺乏互动性,交流伙伴单一且请教意图明显,学生间数学交流阻碍的主要原因是交流双方不能很好地表达自己的意思,或是二者思考问题的层次相差太远[10].刘喆(2011)对广州市某小学3-6年级师生开展问卷调查,得出“不同年级学生问题解决时采用的数学表述类型存在差异、数学语言掌握程度是影响学生数学表述的根本原因、对小学生数学表述能力的培养未得到教师的足够重视”等结论[11].

尽管我国在近十几年的数学课程改革中对“数学交流”给予高度关注,但如何定义数学交流及其构成、如何测评数学交流水平,虽然有论文有所涉猎,但总体研究与实践均很薄弱.

二、数学交流素养及其构成

(一)数学交流素养及其特征

1.数学交流素养的涵义.联合国教科文组织认为素养是在各种相关情境中识别、理解、解释、创造、交流、计算的能力[12],此处素养是指学生思维品质和关键能力的综合表现.数学交流素养是在数学活动中接受信息和表达数学的综合能力,是通过阅读、讨论、辩论、合作等方式提取并理解有效数学信息,用书面、口头形式进行合理推断、表达数学观点、反思与评价自己和他人观点的能力.数学交流素养是通过数学思维的方式,与文本信息、他人进行数学的对话、沟通,这种素养在数学问题解决中起着至关重要的作用,一方面是接受数学信息,另一方面是表达数学观点.

2.数学交流素养的特征.数学交流是一种互动的数学活动过程,在这个过程中,学生表现出来的素养是自然听读数学,进行数学化、理解数学、表达数学,因此数学交流素养具有参与性、交互性、逻辑性、连续性等特征.

(1)参与性.学生通过主动参与数学阅读、表达、倾听来获知相关信息,这种主动参与性是数学交流产生的重要条件.表达者和接受者参与到共同的数学活动中,当表达者陈述自己的数学认识或观点、接受者积极获得相关信息并进行分析比较与回应时,数学交流才产生.

(2)交互性.数学交流发生在二者或者多人之间,体现为数学学习活动中学生与文本信息、声音、他人之间的交互作用,是交流者对数学语言认知和数学模式识别的共同探索.数学交流在互动中不断发生,若没有交互作用,则交流就会失去意义.

(3)逻辑性.有效的数学交流一定呈现出清晰的逻辑思路.学生在交流数学时,需要共同遵循一定的数学原理、思考程序和表述规则,使得数学交流中的信息具有较为清晰的逻辑关系,以促进交流持续、有效进行.具有良好数学交流素养的学生在思维上一定是清晰的.

(4)连续性.数学交流由一系列的数学活动建构而成,在表达者的意义转化为接受者的符号信息的连续演变中,数学以表格、图形、模型、符号、文字、口语等多种形式展现出来,使得交流者采用多种形式、各个层面、多种角度加深对数学的持续认知,这种连续性促进了交流者之间共享信息,也创造出新问题,逐步构建出新的数学概念或者理论[13](Otte, 1998).

(二)数学交流素养的结构

关于数学交流素养的结构.从交流过程来看,数学交流素养主要包括四个部分:信息获取、信息加工、数学表达和研讨探索,其基本结构如图1所示.

图1　数学交流素养结构

1.信息获取.信息获取就是接受数学信息,主要包括信息识别和信息提取两个方面.具体而言,即从交流中筛选信息、获得有用的数学.

2.信息加工.当信息进入内部加工系统,就在新旧知识间建立了联系,在编译信息的过程中对信息进行变形加工,转化为可以分析的符号或编码,以形成或获得相应的回应措施.

3.数学表达.当接受和理解数学并作出基本判断后,就需要呈现数学判断,也就是进行数学表达.学生可以通过书面呈现或者口头表达,把自己的观点展现给他人,为进一步深入交流做好准备.

4.研讨探索.交流的目的在于促进深入思考.交流的最高层次在于探讨、探索数学观点,在对他人观点和自己观点进行评价反思的基础上,进一步拓展、延伸对数学的认识,使数学交流更加深刻.

从素养的角度来看,信息获取、信息加工这两个过程是接受数学、理解数学与作出判断的独立思考过程,而数学表达、研讨探索这两个过程则更注重彼此间的分享与合作.在这个结构示意图中,研究重心放在数学表达、研讨探索,主要考虑作为交流者的外部行为和思维活动过程,对于不同信息,如情境、数学模型、数学概念等不同的获取方式以及加工处理方式,此处不做深入分析.

三、数学交流素养及其测评

(一)数学交流层次及其测评标准

1.数学交流层次.借鉴PISA2015数学素养的测评经验,从交流程度的角度,可以将数学交流由低到高划分为无关层次(L0)、识别层次(L1)、模仿层次(L2)、关联层次(L3)、反思层次(L4)、拓展层次(L5)共六个层级,这六个层级具有相应的顺序性和相对性,是递进关系,如图2.

图2　数学交流的六个层次

2.数学交流素养测评标准.这里主要探讨用数学试题这一测评工具对学生的数学交流素养进行评估.借助数学试题对学生的数学交流素养进行测评,需要考虑2方面的问题:一是需要明确解答数学试题需要考生主要具备哪个层次的思维要求与交流程度要求,即试题自身所处的交流层次;二是需要明确同一道试题也可以区分出不同考生作答表现对应的交流程度,即如何依据测评结果对考生交流素养进行诊断.表1给出的是数学交流素养测评标准.

表1　数学交流素养测评标准

(二)数学交流测评标准的使用

表1给出的数学交流素养测评标准,若用于指导数学试题的命制,则可以确定正确解答某层次试题的考生所具备的交流素养层次;若用于分析不同考生作答同一试题的过程时,则可以给出考生交流素养的分布状况.下面通过一个具体例子来说明.【测评试题】音乐会(改编自PISA2003公开样题[14].)

汪峰摇滚音乐会预留了长100米、宽50米的长方形场地作为观众席.该场地音乐会的门票全部售完,而且观众席站满了歌迷.

请问:下列哪个数最有可能是出席该场音乐会的人数?并解释你的选择理由.

A.2000B.5000

C.20000D.100000

1.试题的交流层次.本题主要考查的是把场地大小与形状、音乐会爆满、歌迷站满观众席等信息有效提取出来、表述成适当的数学形式,并确定条件中缺少一些信息,但可以根据生活经验提出假设进行估算,然后进行合理联想与转换,做出判断,解释自己的判断.因此,在测评考生的数学交流素养时,本题属于关联层次(L3).

2.考生的交流层次.根据表1,考生作答本题时呈现的交流层次遍布L0、L1、L2、L3.

【案例1】选E.理由:喜欢音乐的人很多.

【案例2】选A.理由:(100+50)×2=300(米),假设1米可站4个人,300×4=1200(人).

【案例3】选B.理由:因为100×50m大约是一个标准运动场的大小,我们学校的运动场站3000多人后还有一些空位,加上汪峰的歌迷之多,场面也很火爆,所以应该有5000多人.

【案例4】选B.理由:100×50=5000(米),所以可能出席的人数为5000人.

【案例5】选D.理由:100×50=5000(m2),假设1m2可以容纳10人,所以50000人正好.

【案例6】选D.理由:根据我的实践测试与观察,人的侧面四人1米,正面二人1米,就等于4×50×2×100=40000(m2),40000和50000距离最近.

【案例7】选C.理由:1平方米大约可站4–5人. 100×50=5000(平方米),4×5000=20000(人).

【案例9】选C.理由:100×50=5000(m2).因为观众站满了,所以排除A、B;若选择D、E时,50000÷5000=10(人), 100000÷5000=20(人),1m2无法站10人或20人,所以排除.所以最有可能是20000人.

上面9个案例中,案例1所表达的观点与数学问题无关,没有提取出任何有效数学信息,因此该作答属于交流的无关层次(L0).案例2虽然分辨出场地的长、宽信息,但是把观众席场地估算错误地联想成计算周长,思维停留在线性层面;案例3虽然联想到个人生活经验进行估算,但数学算理不明,因此案例2、案例3的作答属于交流的识别层次(L1).案例4、案例5、案例6,都能够将估算观众席人数转换为估算场地容纳人数,并明确首先需要求出长方形场地的面积,掌握了长方形面积的计算方法,但尚未掌握基于面积合理估算场地容纳人数的方法,因此案例4、案例5、案例6的作答属于交流的模仿层次(L2).案例7、案例8、案例9,不仅知道需要先求出长方形场地的面积,还具有一定的洞察力,知道通过“摇滚音乐会”、“观众席站满人”等信息估算1平方米大约可站人数或1个人大约站场地大小,从而推断出场地容纳人数,因此案例7、案例8、案例9的作答属于交流的关联层次(L3).

[1]Principles and Standards for School Mathematics.The National Council of Teachers of Mathematics[M].2000(58).

[2]https://www.gov.uk/government/publications/national-curriculumin-england-mathematics-programmes-of-study/national-curriculum-inengland-mathematics-programmes-of-study

[3]http://www.moe.edu.sg/education/secondary/courses/TheMinistryof Education,Singapore.Mathematics Teaching and Learning Syllabuses [EB/OL].http://www.moe.gov.sg/education/syllabuses/sciences/.

[4]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社.2012.3:2-15.

[5]TIMSS 2015 Assessment Frameworks,P12,P26.http://timss.bc.edu/timss2015/frameworks.html

[6]沈呈民,孙连举,李善良.数学交流及其能力的培养[J].课程教材教法,1991(9),14-19.

[7]杨建辉.数学交流涵义之面面观[J].乐山师范学院学报,2005(12), 26-28.

[8]沈丹.八年级学生数学交流能力的调查研究[J].华东师范大学2014届硕士研究生学位论文,8,9,16.

[9]闵海亮.基于课堂录像的数学交流研究[J].华中师范大学2011届硕士研究生学位论文,13,14,25,46.

[10]栾瑞红.初中数学课堂教学中数学交流的研究[J].首都师范大学2009届硕士研究生学位论文,19-21.

[11]刘喆.小学生数学表述状况调查及数学表述教学模式研究[J].数学教育学报,2011(2),26-30.

[12]UNESCO Education Sector,The Plurality of Literacy and its implications for Policies and Programs:Position Paper.Paris:United National Educational,Scientific and Cultural Organization,2004,p.13,citing a international expert meeting in June 2003 at UNESCO

[13]Otte,M.:1998,‘Limitsofconstructivism:Kant,Piaget,andPeirce’,Science and Education 7,425–450.

[14]OECD,PISA2015Draft MathematicsFramework.March2013,p42-44. http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/Draft%20PISA%202015%20 Mathematics%20Framework%20.pdf

广东省教育科研“十二五”规划2015年度研究重点项目,基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究,课题批准号2015ZQJK035.