立体几何综合题的解法探究

◇ 黑龙江 王萌萌

立体几何综合题的解法探究

◇ 黑龙江 王萌萌

近几年高考立体几何中的综合问题,集中体现在立体几何问题的定性与定量的研究.定性研究表现为平行与垂直关系的推理论证.定量研究表现为垂直、夹角与距离、几何体体积的计算等,着重考查考生的空间概念、分析与判断、推理与证明以及代数运算的能力,设问由浅入深,得分相对容易,但也需要一定量训练才能完成.

例 (2016年全国卷Ⅲ)如图1所示,四棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4,M为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点.

图1

(1)证明MN∥平面PAB;

(2)证明CM⊥平面PAD(改编);

(3)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

1 熟练把握平行原理突破线面平行

空间中的平行关系包括:线线平行、线面平行、面面平行,解题中要熟练把握三者之间的关系,如证线面平行,既可从线线平行入手,也可从面面平行入手.前者是在已知面内找到一条直线与已知直线平行;后者是证明已知线所在的面与已知面平行.

(1)方法1 如图2所示,取PB的中点G,连接AG.因为N为PC的中点,所以GN为△PBC的中位线,所以GN∥BC且GN＝BC/ 2＝2.因为AD＝3,AM＝2AD,所以AM＝2.又因为AD∥BC,所以GN∥AM,且GN＝AM,所以四边形AGNM为平行四边形,所以GA∥NM.因为AG⊂面PAB,所以MN∥面PAB.

图2

方法2 如图3所示,取BC的中点E,连接EM.因为N是PC的中点,所以EN是△PBC的中位线,所以EN∥PB.

图3

因为BC＝2,所以BE＝2.因为AD＝3,AM＝2AD,所以AM＝2.又因为AD∥BC,所以BE∥AM,且BE=AM,所以四边形ABFM为平行四边形,AB∥FM.所以面PAB∥面EMN,MN∥面PAB.

无论是证明线面平行,还是证明面面平行,均需从线线平行入手,解题中准确构造特殊的平行关系,如平行四边形、三角形中位线等.

2 借助等价转化巧证垂直关系

空间中的3种垂直关系:线线垂直、线面垂直、面面垂直,无论证明哪种垂直关系,均须从线线垂直入手.解题中熟练利用等腰三角形三线合一的性质、菱形对角线互相垂直、勾股定理等是解题的关键.

所以CM⊥面PAD

方法2 取BC的中点E,连接AE.因为AB＝AC,所以AE⊥BC.因为AM＝EC＝2,且AM∥EC,所以四边形AECM为矩形,AM⊥MC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CM.所以CM⊥面PAD.

方法1利用余弦定理、角的转化以及逆用勾股定理证明出线线垂直.方法2借助等腰三角形三线合一性构造出矩形证明出线线垂直.

3 灵活运用几何、代数2种方法求解线面角

空间角问题的求解,主要有几何和代数两种视角.几何法:通过引入辅助线,构造相应空间的平面角,将其置于某个三角形中,利用解三角形相关方法求解.代数法:通过建立空间直角坐标系,引入点的坐标,求出平面的法向量、直线的方向向量,再利用两向量的数量积求解.

(3)方法1 由(2)CM⊥PAD,得平面PNM⊥平面PAD.如图4所示,在平面PAD内,过点A作AT⊥平面PM,交PM于点T,连接NT,则∠ANT为直线AN与平面PMN所成角.

图4

在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得

在Rt△ANT中,由 PA·AM＝

方法2 取BC的中点E,连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且

以A为坐标原点,建立如图5所示的空间直角坐标系A-xyz,易知

图5

方法1对学生空间想象能力要求较高,方法2对计算能力要求较高.因此在平时的解题训练中处理空间角的相关问题时要善于从上述2种视角来分析、解答问题,不可顾此失彼.

(作者单位:黑龙江省哈尔滨市木兰县新民镇新胜学校)