落球法测液体黏度的深入研究

张进波

(江川县第一中学 云南 玉溪 652600)



落球法测液体黏度的深入研究

张进波

(江川县第一中学 云南 玉溪 652600)

利用流体力学的知识对小球下落计时起点的确定进行理论推导，并给出了达到终极速度之前小球运动的距离与速度之间的函数关系，以及不同半径的小球达到终极速度时其半径与下落距离的关系.

落球法 粘滞系数 终极速度

在普通物理实验中，测量液体黏度的方法有很多种：落球法(斯托克斯法)[1]、扭摆法[2]、转筒法[3]和毛细法[4]等.落球法是众多测量液体黏度方法中的一种[5],但该方法一般适用于测量黏度较大且有一定透明度的液体，在普通的实验中我们都选择常用的油作为测量对象.

实验需要测量小球在盛有液体的圆桶内匀速铅直下落时的速度，由于小球在下落运动时受到很多因素的影响，如小球的半径大小，预留高度[6]，圆桶的形状大小等，因此小球速度变化比较复杂.现有的文献对用落球法测定液体黏度的研究主要集中在对小球半径、补正系数和实验误差的讨论[7].而一般实验中的计时起点的确定都是凭经验而定，并没有从理论上给予证明，这样往往会在实验时引入误差.准确地确定出小球下落的计时起点，从而能提高液体粘滞系数测量的精确度[8].

本文基于流体力学的有关理论对液体中运动的物体运动规律进行分析,用理论方法对实验中计时起点的确定给予限定,并研究了小球速度达到终极速度之前小球半径与下落距离的关系.

1 斯托克斯公式

各种实际液体都有不同的粘滞性，当液体流动时，平行于流动方向的各层流体速度都不相同，即存在着相对滑动，于是在各层之间就有摩擦力产生.这一摩擦力称为粘滞力，它的方向平行于流动面，与流动方向相反，其大小与速度梯度及接触面积成正比.

由于液体具有粘滞性，固体在液体内运动时，附着在固体表面的一层液体和相邻层液体间有内摩擦阻力作用，这就是粘滞阻力.对于一个半径为r的光滑圆球，以速度v在均匀的无限宽广的液体中下落，若速度不大，球也很小，在液体中不产生涡流的情况下，可计算出球在液体中所受到的粘滞阻力为

f=6πηrv

此式也称为斯托克斯公式，其中η为液体黏度，单位为Pa·s， r为小球半径.

2 物体在流体中的受力

在基础物理实验中，落球法是常用的测量粘滞系数的方法.其测量液体粘滞系数的原理是：当小球在密度为ρ′,黏度为η的液体中铅直下落时，对小球进行受力分析如图1.可发现小球受3个力作用，即重力G(竖直向下)、液体浮力F(竖直向上)、液体的粘滞阻力f(竖直向上).设球以v=0的速度开始下落，则刚开始下落时阻力很小，小球开始加速运动，随着v增大，粘滞阻力变大，而当速度达到一定值时，阻力与浮力之和等于重力，即

图1 受力分析图

mg=ρ′Vg+6πηrv

式中m为小球质量，V为小球体积，此时小球开始匀速下落，此时的速度称为终极速度，也叫收尾速度.

3 物体在流体中运动

实验中，我们必须要在小球速度达到收尾速度后才开始对小球进行计时及测量，下面就对小球下落后其速度达到终极速度后计时起点位置的确定进行推导.

由上式可知V为小球的体积，g为重力加速度，设ρ为小球密度，取竖直向下为x轴正向，开始下落点O(在液体表面)为坐标原点，开始下落时，小球速度为零，根据牛顿第二定律得

(1)

即

(2)

(3)

设

(4)

(5)

则

(6)

当小球下落后随速度的增加，粘滞阻力增大,最终受力平衡，此时小球做匀速运动，加速度为零，则

a-bv=0

(7)

则小球的终极速度

(8)

可求得在达到终极速度前，小球下落距离与速度之间的函数关系为

(9)

式中x为小球运动的距离，代入式(6)，则

(10)

两边积分

(11)

当x=0，v=0时

(12)

则

(13)

令

(14)

则最终可得出

(15)

此式为小球达到终极速度之前，小球下落距离x与速度v之间的函数关系.

4 数值计算

为了定量研究小球在流体中的运动，我们用数值的方法计算小球在达到终极速度时在甘油中运动的距离.在计算中，我们取重力加速度g=9.8 m/s2，钢球密度ρ=7.8×103kg/m3，甘油密度ρ′=1.26×103kg/m3，甘油黏度η=0.954 Pa·s，小球半径变化范围从10-2～10-5m，计算过程中，为了使结果快速收敛，我们取对数间隔

5 结论

根据我们的计算结果(图2)，可得到如下结论.

当v=0.9v0时

x=x0(ln10-0.9)=1.402 58x0

当v=0.99v0时

x=x0(ln100-0.99)=3.615 17x0

当v=0.999v0时

x=x0(ln1 000-0.999)=5.908 76x0

而当v→v0时

x→∞

在实验中,我们可以把计时起点设定在液面下x=5.908 76x0处，因为小球下落到此处时速度已达到0.999v0，与终极速度之差很小，误差满足大学物理实验中对误差的要求.

图2 x-v0关系图

同时，我们也得到小球速度达到0.999v0时小球半径与下落距离的关系(图3)

结果表明：对于半径r<0.5 cm的小球而言，半径对下落高度影响较小，但当小球半径r>0.5 cm时，半径对下落高度有较大影响.因此，在实验室条件下，一般要求小球直径小于1 cm.

图3 r-x关系图

6 讨论

落球法测液体黏度，造成偶然误差的主要因素有：(1)小球直径的测量；(2)小球下落高度的测量；(3)小球匀速下落后时间的测量.且不同半径的小球达到匀速运动所需的时间也是不同的，而为了减小实验时的系统误差，小球半径的选择要尽量小，这样可使收尾速度较小使雷诺数R在实验条件允许的范围[9]，且斯托克斯公式是根据理想状态下，既无涡流，液体均匀且无限宽广的状态下推出的，而真正实验时小球是在有限的容器中下落，速度要比在无限容器中要小，所以容器的大小和形状对小球下落的速度也会产生一定的影响[10].

1 赵学端，廖其奠.粘性流体力学.北京：机械工业出版社，2005.73～79

2 朱元凱, 洪彦若, 毛裕文. 内柱体扭摆衰减粘度计测量的基础研究.北京科技大学学报,1979(2)

3 吴洁，刘晓燕.转筒法测量液体粘滞系数公式的修正. 教育学院学报(自然科学版), 2008(3)

4 华中工学院.物理实验 基础部分.北京:高等教育出版社,1981.68～70

5 张淑贞.落球法测液体的粘滞系数小球收尾速度的研究.大学物理实验，1998(1)：26～27

6 赵平华.落球法测液体的粘滞系数的研究.大学物理,2002,21(7):29～30,33

7 杨述武.普通物理实验(一、力学及热学部分).北京:高等教育出版社，2000.114～116，205～208

8 李俊来，封国林.测量G实验中对小球和液体选择的理论分析.工科物理,1998，11(1)：29～30

9 龚镇雄，刘雪林.普通物理实验指导.北京：北京大学出版社，1990

10 张雄等编.物理实验设计与研究.北京:科学出版社,2001

2015-10-16)