用曲率方法讨论圆形可逆循环温度的极值问题

胡 玥

(上海师范大学附属龙华中学 上海 200232)

姚黄涛 冯 杰

(上海师范大学 上海 200235)



用曲率方法讨论圆形可逆循环温度的极值问题

胡 玥

(上海师范大学附属龙华中学 上海 200232)

姚黄涛 冯 杰

(上海师范大学 上海 200235)

从图像曲率的角度讨论了理想气体在p-V图上圆形循环的温度极值问题.结果发现当循环过程的轨迹圆处在约束角θ=60°的约束范围内时，轨迹圆与低温处的等温线相切于一个点.超过约束范围的轨迹圆与等温线切于两个点.从而指出了相关文献中的结论不准确，尝试解答相关文献中作者提出的猜想.

约束角 圆形可逆循环 曲率 p-V图像

1 问题的引出

2 原题与本文的解决思路

图1 理想气体的圆形可逆循环过程

图2 等温线与圆相切的情况

由于理想气体在p-V图上的等温线离原点的远近代表了温度的高低，所以等温线与图像上的圆相切时的温度即为最高温度和最低温度.如图2所示，最高温度很明确，只有一个切点A，因为在A点圆的曲率和等温线的曲率符号相反.但是对最低温度的确定存在着困难，原因是在B点处等温线和圆的曲率符号相同但大小不确定，所以存在两种不同的情况：切点可能是一个或者两个.如果直接联立理想气体状态方程和圆的轨迹方程求单一切点，得出的温度极小值可能不是最小值.所以我们的目的是从曲率的角度，直观地寻找一个切点与两个切点的分界条件.

3 具体解决过程

3.1 曲率与曲率半径

用数量来描述曲线弯曲程度的数学量叫做曲率.设光滑曲线在直角坐标系中的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数，则曲线上任意一点的曲率

图3 曲线与圆的相切情况

3.2 等温线的曲率最值

理想气体的状态方程为pV=μRT，则

(1)

(2)

(3)

代入曲率公式

得

(4)

曲率半径

(5)

(6)

3.3 一个切点的条件——约束角

由于等温线中心点处的曲率最大,曲率半径最小,所以只要圆形可逆循环的轨迹圆的半径小于等于等温线最小曲率半径ρmin，就可以保证可逆循环的轨迹圆与(低温)等温线内切于一点，而当轨迹圆的半径等于ρmin时则为密切.此轨迹圆的半径等于ρmin即为切点只有一个的临界条件.

图4

4 结论

(1)判断切点个数的约束角θ=60°.

1 郑金.对气态变化椭圆图像成立条件的探究.物理教学，2014(1)：52～54

2 方伟，涂泓，朱炯明.理想气体在圆形可逆循环过程中温度极值的讨论.物理通报，2015(7)：23～27

3 同济大学数学系.高等数学(上册).北京：高等教育出版社，2007.171～174

2015-10-10)